Propositions et opération élémentaire/Conjonctions et disjonctions

Soient $p$ et $q$ deux propositions.

Conjonction

Conjonction de deux propositions

Définition :Modèle:Définition

La table de vérité de la proposition $p\wedge q$ est la suivante :

Valeur de vérité de la proposition $p$	Valeur de vérité de la proposition $q$	Valeur de vérité de la proposition $p\wedge q$
VRAIE	VRAIE	VRAIE
VRAIE	FAUSSE	FAUSSE
FAUSSE	VRAIE	FAUSSE
FAUSSE	FAUSSE	FAUSSE

Disjonction

Disjonction de deux propositions

Définition :Modèle:Définition

La table de vérité de la proposition $p\vee q$ est la suivante :

Valeur de vérité de la proposition $p$	Valeur de vérité de la proposition $q$	Valeur de vérité de la proposition $p\vee q$
VRAIE	VRAIE	VRAIE
VRAIE	FAUSSE	VRAIE
FAUSSE	VRAIE	VRAIE
FAUSSE	FAUSSE	FAUSSE

L'opérateur « ou » est inclusif, c'est-à-dire : si $p\wedge q$ est vraie, alors $p\vee q$ est vraie.

On peut résumer tout cela dans la table de vérité suivante :

Valeur de vérité de la proposition $p$	Valeur de vérité de la proposition $q$	Valeur de vérité de la proposition $p\vee q$	Valeur de vérité de la proposition $p\wedge q$
VRAIE	VRAIE	VRAIE	VRAIE
VRAIE	FAUSSE	VRAIE	FAUSSE
FAUSSE	VRAIE	VRAIE	FAUSSE
FAUSSE	FAUSSE	FAUSSE	FAUSSE

Maintenant étudions cette table de vérité :

Valeur de la proposition $p$	Valeur de la proposition $q$	Valeur de la proposition $p\wedge q$	Valeur de la proposition $\overline{p}\vee \overline{q}$
VRAIE	VRAIE	VRAIE	FAUSSE
VRAIE	FAUSSE	FAUSSE	VRAIE
FAUSSE	VRAIE	FAUSSE	VRAIE
FAUSSE	FAUSSE	FAUSSE	VRAIE

On remarque que $\overline{p\wedge q}$ est équivalente à $\overline{p}\vee \overline{q}$. De même, on obtiendrait $\overline{p\vee q}$ est équivalente à $\overline{p}\wedge \overline{q}$.
On peut résumer ces propriétés en disant que la négation d'un « ou » est un « et » et la négation d'un « et » est un « ou ».

Dans des exemples :

($2>10$) ou ($x^2=4$ a au moins une solution.)	Vraie
(4 est pair) et (Les mammouths ont disparu)	Vraie
($x+1=x+2-1$) et ($\frac{16}{4}=3$)	Faux
$\overline{4^2=16}$	Faux
$\overline{(x>2)\wedge (x<2)}$	Vraie

Négation des conjonctions et disjonctions (règles de De Morgan)

Elles ont été formulées par le mathématicien britannique Augustus De Morgan (1806-1871).

Soient $P_1$ et $P_2$ deux propositions.

Modèle:Théorème La négation d'une conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations de ces deux propositions.

La négation d'une disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations de ces deux propositions.