Produit vectoriel/Double produit vectoriel

Le vecteur $\overrightarrow{u}\wedge (\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w})$ appartient toujours au sous-espace engendré par $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$, puisqu'il est orthogonal à l'orthogonal de ce sous-espace. Ce vecteur est donc combinaison linéaire de $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$. La formule du double produit vectoriel explicite les coefficients de cette combinaison sous forme de produits scalaires :

Remarque

De même (par antisymétrie) : $(\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w})\wedge \overrightarrow{u}=(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{w}-(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w})\overrightarrow{v}$, ou encore : $(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\wedge \overrightarrow{w}=(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u})\overrightarrow{v}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{u}$, différent de $\overrightarrow{u}\wedge (\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w})$ en général.