Produit scalaire dans le plan/Produit scalaire de deux vecteurs

Produit scalaire

Définitions

Norme d'un vecteur

En vertu du théorème de Pythagore, si le vecteur

$\overrightarrow{u}$

a pour coordonnées

$(x,y)$

, sa norme s'écrit

$\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}.$

En partant des points

$A$

et

$B$

du vecteur, s'ils ont pour coordonnées respectives

$(x_A,y_A)$

et

$(x_B,y_B)$

alors :

$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}.$

Produit scalaire

Le produit scalaire est une opération qui se note $\cdot$, qui porte sur deux vecteurs et dont le résultat est un nombre réel (donc un scalaire).

Remarques

• Si $A$, $B$ et $C$ sont trois points distincts, en posant $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ on a :

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos (\widehat{BAC})$

• Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires de même sens alors :

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \times \Vert \overrightarrow{v}\Vert$

• Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires de sens contraires alors :

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-\Vert \overrightarrow{u}\Vert \times \Vert \overrightarrow{v}\Vert$

• Quel que soit le vecteur $\overrightarrow{v}$, on a $\overrightarrow{0}\cdot \overrightarrow{v}=0$

Propriétés

Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel.

• Le produit scalaire est symétrique : $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$

Démonstration

$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$ $=\left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right|\times \left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right|\times \cos (\overrightarrow{v},\overrightarrow{u})$ $=\left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right|\times \left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right|\times \cos (-(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}))$ $=\left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right|\times \left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right|\times \cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ car la fonction cosinus est paire. $=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$

• Le produit scalaire est linéaire : $\{\begin{array}{c}(k\times \overrightarrow{u})\cdot \overrightarrow{v}=k\times (\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})\\ (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}\end{array}$
• Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs :

1.	${\left||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|\right|}^2$ $={\left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right|}^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+{\left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right|}^2$ $⟺$ $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ $=\frac{1}{2}({\left||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|\right|}^2-{\left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right|}^2-{\left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right|}^2)$
2.	${\left||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|\right|}^2$ $={\left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right|}^2-2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+{\left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right|}^2$ $⟺$ $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ $=-\frac{1}{2}({\left||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|\right|}^2-{\left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right|}^2-{\left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right|}^2)$
3.	$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$ $={\left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right|}^2-{\left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right|}^2$

Démonstration de la 1ère formule

${\left||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|\right|}^2$ $=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$ $=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}$ par linéarité. $={\left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right|}^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+{\left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right|}^2$ par symétrie.

Produit scalaire et orthogonalité

Produit scalaire et orthogonalité

Modèle:Théorème

Remarque

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace. Ou bien deux vecteurs égal à 0 sont perpendiculaires

Produit scalaire et projeté orthogonal

Modèle:Théorème

Démonstration

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ $=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC})$ (Chasles) $=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{HC}$ par linéarité. $=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}$ car $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{HC}=0$ car $\overrightarrow{HC}\mathrm{\perp }\overrightarrow{AB}$ car $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $\left(AB\right)$

Calcul d'un produit scalaire analytiquement

Conséquences

Normes

Si $\overrightarrow{u}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y})$, alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{\stackrel{2}{\overrightarrow{u}}}=\sqrt{x^2+y^2}$

Calcul du produit scalaire avec les normes

Soit $\overrightarrow{u}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y})$ et $\overrightarrow{v}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x^{\prime }}{y^{\prime }})$ et $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+x^{\prime }}{y+y^{\prime }})$

$||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|{|}^2=(x+x^{\prime }{)}^2+(y+y^{\prime }{)}^2$

$||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|{|}^2=x^2+2x{x}^{\prime }+x{\text{'}}^2+y^2+2y{y}^{\prime }+y{\text{'}}^2$

$||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|{|}^2=x^2+y^2+x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+2(x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime })=||\overrightarrow{u}|{|}^2+||\overrightarrow{v}|{|}^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$

d'où :

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}[||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|{|}^2-||\overrightarrow{u}|{|}^2-||\overrightarrow{v}|{|}^2]$