Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers

Exercice 4-1

On note $E_n$ l’ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ de $\mathbb{Z}[X]$ dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

1. Montrer que $E_n$ est fini.
2. Soit $P=\prod _{k=1}^n(X-z_k)$ un élément de $E_n$. On note $Q$ le polynôme $\prod _{k=1}^n(X-z_k^2)$. Montrer que $Q\in E_n$.
3. Montrer que les racines non nulles des éléments de $E_n$ sont des racines de l'unité.

Exercice 4-2

Soient $a_1,\dots ,a_n$ n entiers deux à deux distincts ($n\ge 1$) et $T=\prod _{i=1}^n(X-a_i)$. Dans chacun des cas suivants, montrer que dans $\mathbb{Z}[X]$, le polynôme $P$ est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont $\pm 1,\pm P$.

1. $P=T+1$ avec n impair ;
2. $P=T-1$ ;
3. $P=1+T^2$.

Exercice 4-3

Soient $P=\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i$ un polynôme à coefficients entiers, et $\frac{p}{q}$ ($p\in \mathbb{Z}$, $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) une racine rationnelle de $P$, écrite sous forme irréductible.

1. Montrer que $qX-p\mid P$.
2. En déduire que $p\mid a_0$ et $q\mid a_n$.
3. En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
4. Déduire du 1. que $p-q\mid P(1)$ et $p+q\mid P(-1)$.
5. Déduire du 1. que s'il existe deux entiers relatifs distincts $m_1$ et $m_2$ tels que $|P(m_1)|=|P(m_2)|=1$ alors $|m_1-m_2|\le 2$ et $\frac{p}{q}=\frac{m_1+m_2}{2}$.

1. Le polynôme $P(X):=X^3+X+1$ est-il irréductible dans $ℂ[X]$ ? dans $ℝ[X]$ ? dans $\mathbb{Q}[X]$ ?
2. Et le polynôme $Q(X):=X^3-X-1$ ?
3. Et le polynôme $R(X):=X^3-X^2-2$ ?

Décomposer en produits de facteurs irréductibles dans $\mathbb{Q}[X]$ les polynômes suivants :

$P_1(X)=3X^3-2X^2-2X-5$, $P_2(X)=6X^4+19X^3-7X^2-26X+12$, $P_3(X)=X^6+2X^4-X^3+3X^2+1$.

Exercice 4-4

Soit $P=X^5+2X^3-24X-2$.

1. Montrer que $P$ est irréductible dans $\mathbb{Z}[X]$.
2. Soient $x_1,\cdots ,x_5$ ses racines complexes. Calculer $p_2:=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2$ et en déduire que les racines de $P$ ne sont pas toutes réelles.
3. Combien $P$ a-t-il de racines réelles ? (On pourra calculer $P(-1)$ et $P(0)$).

Modèle:Solution Montrer que le polynôme $P(X)=3X^{2007}+33X^{2003}+99X^7+363X+165$ :

1. n'est pas irréductible sur $\mathbb{Z}$ mais l'est sur $\mathbb{Q}$ ;
2. a exactement une racine réelle et que celle-ci est un irrationnel négatif.

Exercice 4-5

1. Le polynôme $P=11X^{12}+26X^6+65X^4-169X-5200$ est-il irréductible sur $\mathbb{Q}$ ? sur $\mathbb{Z}$ ? sur $ℝ$ ?
2. Montrer que $P$ a exactement deux racines réelles non rationnelles.
3. Le polynôme $Q=2X^{17}-3X^7+9X^4-6X+93$ est-il irréductible sur $\mathbb{Z}$ ? sur $ℝ$ ?
4. Le polynôme $R=2X^4+6X^3+18X+48$ est-il irréductible sur $\mathbb{Z}$ ? sur $\mathbb{Q}$ ? sur $ℝ$ ?
5. Montrer que le polynôme $S=2X^3{Y}^2+3X^2{Y}^3+X^4+8XY+6Y^2+Y$ est irréductible dans $\mathbb{Z}[X,Y]$.
6. Montrer que le polynôme $T=X^4+2X^3{Y}^2+3X^2{Y}^3+8XY+Y+6Y^2$ est irréductible dans $\mathbb{Z}[X,Y]$.

Exercice 4-6

Soient $a\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et (pour $d\in \mathbb{N}$), $d$ entiers relatifs distincts $b_1,\dots ,b_d$. On pose

$P=(X^2+a)\prod _{k=1}^d(X-b_k)$

puis, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

$Q_n=P+\frac{p}{p^{n(d+2)}}$

où $p$ est un nombre premier fixé.

1. Montrer que pour $n$ assez grand, $Q_n$ a exactement $d$ racines réelles.
2. Montrer que $Q_n$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$.