Polynôme/Exercices/Polynôme dérivé

Exercice 2-1

Trouver tous les polynômes $P\in ℂ[X]$ tels que $P$ est divisible par $P^{\prime }$. Modèle:Solution

Exercice 2-2

Trouver tous les $(A,B)\in (ℂ[X]{)}^2$ tels que $A=B^{\prime }{B}^{″}$ et $B=A^{\prime }{A}^{″}$. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Montrer qu'il n'est pas possible que ${\mathrm{e}}^x=\frac{P(x)}{Q(x)}$ sur un intervalle réel ouvert non vide, où $P$ et $Q$ sont deux polynômes. Modèle:Solution

Exercice 2-4

Soit $P\in ℂ[X]$.

1. Montrer que s'il existe $S\in ℂ[X]$ tel que $P=S^2$ alors $P$ divise $P{\text{'}}^2$.
2. Si $\mathrm{deg}P=4$, démontrer la réciproque.

Exercice 2-5

Soit $f:ℝ\to ℝ$ une application dérivable. Montrer que $f$ est polynomiale de degré $<n$ si et seulement si

$\mathrm{\forall }(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n\sum _{J\subset \{1,\dots ,n\}}(-1{)}^{|J|}f\left(\sum _{j\in J}{x}_j\right)=0$.

(Indication : pour l'implication $\Rightarrow$, on pourra considérer l'application ${\mathrm{\Delta }}_u:P(X)\mapsto P(X)-P(X+u)$ et calculer de deux façons différentes $({\mathrm{\Delta }}_{x_n}\circ \dots \circ {\mathrm{\Delta }}_{x_1})(P)$ lorsque $P$ est un polynôme de degré $<n$. Pour l'implication réciproque, raisonner par récurrence et utiliser la dérivabilité.) Modèle:Solution