Phénomènes d'induction/Loi de Faraday

Loi de Faraday

Cas d'un circuit mobile lorsque B est indépendant du temps

Un point courant P de Γ à l'instant t a subi une translation élémentaire $\overrightarrow{\mathrm{d}P}$ pour devenir P'.

Si $\overrightarrow{B}$ est indépendant du temps, $\overrightarrow{A}$ aussi et ${\overrightarrow{E}}_m=\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}$

$\begin{array}{cc}e& ={\oint }_{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}).\mathrm{d}\overrightarrow{l}\\ & ={\oint }_{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{\mathrm{d}l}\wedge \overrightarrow{v}).\overrightarrow{B}\\ & ={\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{1}{\mathrm{d}t}(\overrightarrow{\mathrm{d}l}\wedge \overrightarrow{v}\mathrm{d}t).\overrightarrow{B}\\ & =\frac{1}{\mathrm{d}t}{\oint }_{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{\mathrm{d}l}\wedge \overrightarrow{\mathrm{d}P}).\overrightarrow{B}\end{array}$

• La surface infinitésimale ${\mathrm{d}}^2{S}_c$ engendrée par $\overrightarrow{\mathrm{d}l}$ et $\overrightarrow{\mathrm{d}P}$ est appelée surface coupée élémentaire, ou parfois surface balayée élémentaire. Elle est orientée dans le sens de $\mathrm{d}\overrightarrow{P}\wedge \overrightarrow{\mathrm{d}l}$.
• La réunion de toutes les surfaces coupées élémentaires forme la surface coupée $\mathrm{d}{S}_c$. Elle forme une sorte de tube s'appuyant sur S et S'.
• Le flux de $\overrightarrow{B}$ à travers la surface coupée $\mathrm{d}{S}_c$ s’appelle le flux coupé dФ_c.

$\begin{array}{cc}e& =-\frac{1}{\mathrm{d}t}{\oint }_{\mathrm{\Gamma }}({\mathrm{d}}^2{S}_c{\overrightarrow{n}}_c).\overrightarrow{B}\\ & =-{\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{{\mathrm{d}}^2{\mathrm{\Phi }}_c}{\mathrm{d}t}\\ & =-\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_c}{\mathrm{d}t}\end{array}$
Comme $S\cup S^{\prime }\cup \mathrm{d}{S}_c$ est une surface fermée, on a $\mathrm{\Phi }-{\mathrm{\Phi }}^{\prime }+\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_c=0$

Donc $\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_c=\mathrm{\Phi }-{\mathrm{\Phi }}^{\prime }=\mathrm{d}\mathrm{\Phi }$

On a finalement $e=-\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Phi }}{\mathrm{d}t}$

Cas d'un circuit fixe dans B(t)

Pour un circuit fixe, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ donc ${\overrightarrow{E}}_m=-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$

$\begin{array}{cc}e& =-{\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}.\mathrm{d}\overrightarrow{l}\\ & =-\frac{\partial }{\partial t}({\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\overrightarrow{A}.\mathrm{d}\overrightarrow{l})\\ & =-\frac{\partial }{\partial t}(\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{A}).\overrightarrow{\mathrm{d}S})\\ & =-\frac{\partial }{\partial t}(\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }\overrightarrow{B}.\overrightarrow{\mathrm{d}S})\\ & =-\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=-\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Phi }}{\mathrm{d}t}\end{array}$

Cas général

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