Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier

Énoncé du théorème de Fourier

Premier développement en série de Fourier

Modèle:Proposition Modèle:AlLe calcul des cœfficients est un complément, il n'est donc pas exigible :

Modèle:AlCalcul de la composante continue^[1] : « $A_{0} = ⟨ s (t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s (t) d t$ »^[2].

Modèle:Al Modèle:TransparentJustification : le théorème de Fourier^[3] étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche « $⟨ s (t) ⟩$ »^[2], laquelle est égale à
Modèle:Al Modèle:Transparentla moyenne du membre de droite, c.-à-d. à la somme $($ infinie $)$ des moyennes de chaque harmonique
Modèle:Al Modèle:Transparentsoit « $⟨ A_{0} ⟩ + \sum_{n = 1}^{\infty} [⟨ A_{n} \cos (2 π n f t) ⟩ + ⟨ B_{n} \sin (2 π n f t) ⟩]$ »^[2] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentor « toutes les moyennes des harmoniques de rang non nul étant nulles »^[4], il reste, à droite,
Modèle:Al Modèle:Transparentla moyenne de l'harmonique de rang zéro $($ c.-à-d. de la composante continue $)$ ^[1] et
Modèle:Al Modèle:Transparentcomme cet harmonique est une constante, il reste « $⟨ A_{0} ⟩ = A_{0}$ » C.Q.F.D.^[5].

Modèle:AlCalcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\underline{n}$ non nul : « $A_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩ = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) \cos (2 π n f t) d t$ »^[2].

Modèle:Al Modèle:TransparentJustification : le théorème de Fourier^[3] étant admis, « on multiplie les deux membres par $\cos (2 π n f t)$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparenton prend la moyenne du membre de gauche « $⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩$ »^[2], égale à
Modèle:Al Modèle:Transparentla moyenne du membre de droite, c.-à-d.,
Modèle:Al Modèle:Transparentaprès distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme $($ infinie $)$
Modèle:Al Modèle:Transparentdes moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif^[6]
Modèle:Al Modèle:Transparent« $⟨ A_{0} \cos (2 π n f t) ⟩ + \sum_{k = 1}^{\infty} [⟨ A_{k} \cos (2 π k f t) \cos (2 π n f t) ⟩ + ⟨ B_{k} \sin (2 π k f t) \cos (2 π n f t) ⟩]$ »^[2] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentor toutes les moyennes étant nulles à l'exception de « $⟨ A_{k} \cos (2 π k f t) \cos (2 π n f t) ⟩ avec k = n$ »^[7],
Modèle:Al Modèle:Transparentil reste donc, à droite, « $⟨ A_{k} \cos (2 π k f t) \cos (2 π n f t) ⟩ avec k = n$ » c.-à-d. « $⟨ A_{n} \cos^{2} (2 π n f t) ⟩$ » ou,
Modèle:Al Modèle:Transparenten linéarisant $\cos^{2} (2 π n f t) = \frac{1 + \cos (4 π n f t)}{2}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentla somme suivante « $⟨ \frac{A_{n}}{2} ⟩ + ⟨ \frac{A_{n}}{2} \cos (4 π n f t) ⟩$ » soit, « la 2^nde moyenne étant nulle »^[8],
Modèle:Al Modèle:Transparent« $⟨ \frac{A_{n}}{2} ⟩ = \frac{A_{n}}{2}$ » C.Q.F.D.^[5]Modèle:,^[9].

Modèle:AlCalcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\underline{n}$ non nul : « $B_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩ = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) \sin (2 π n f t) d t$ »^[2].

Modèle:Al Modèle:TransparentJustification : le théorème de Fourier^[3] étant admis, « on multiplie les deux membres par $\sin (2 π n f t)$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparenton prend la moyenne du membre de gauche « $⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩$ »^[2], égale à
Modèle:Al Modèle:Transparentla moyenne du membre de droite, c.-à-d.,
Modèle:Al Modèle:Transparentaprès distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme $($ infinie $)$
Modèle:Al Modèle:Transparentdes moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif^[6]
Modèle:Al Modèle:Transparent« $⟨ A_{0} \sin (2 π n f t) ⟩ + \sum_{k = 1}^{\infty} [⟨ A_{k} \cos (2 π k f t) \sin (2 π n f t) ⟩ + ⟨ B_{k} \sin (2 π k f t) \sin (2 π n f t) ⟩]$ »^[2] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentor toutes les moyennes étant nulles à l'exception de « $⟨ B_{k} \sin (2 π k f t) \sin (2 π n f t) ⟩ avec k = n$ »^[10],
Modèle:Al Modèle:Transparentil reste donc, à droite, « $⟨ B_{k} \sin (2 π k f t) \sin (2 π n f t) ⟩ avec k = n$ » c.-à-d. « $⟨ B_{n} \sin^{2} (2 π n f t) ⟩$ » ou,
Modèle:Al Modèle:Transparenten linéarisant $\sin^{2} (2 π n f t) = \frac{1 - \cos (4 π n f t)}{2}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentla somme suivante « $⟨ \frac{B_{n}}{2} ⟩ - ⟨ \frac{B_{n}}{2} \cos (4 π n f t) ⟩$ » soit, « la 2^nde moyenne étant nulle »^[8],
Modèle:Al Modèle:Transparent« $⟨ \frac{B_{n}}{2} ⟩ = \frac{B_{n}}{2}$ » C.Q.F.D.^[5]Modèle:,^[11].

Deuxième développement en série de Fourier

Modèle:Proposition Modèle:Remarque

Passage du premier au second développement en série de Fourier

Modèle:AlLes deux développements en série de Fourier^[3] précédemment introduits devant être identiques $\forall t$ on en déduit $∙$ « $C_{0} = A_{0}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $C_{n} \cos (2 π n f t + φ_{n}) = A_{n} \cos (2 π n f t) + B_{n} \sin (2 π n f t) \forall t$ » ;

Modèle:Alle but recherché dans ce paragraphe est de « déterminer $C_{n}$ et $φ_{n}$ connaissant $A_{n}$ et $B_{n}$ » :

Modèle:AlÉtablissement du lien permettant d'obtenir

(C_{n}, φ_{n})

à partir de

(A_{n}, B_{n})

: partant de la somme d'harmoniques pair et impair de rang

n

«

s_{n} (t) = A_{n} \cos (2 π n f t) + B_{n} \sin (2 π n f t)

»,
Modèle:Al Modèle:Transparenton divise

s_{n} (t)

par

\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}

\Rightarrow

\frac{s_{n} (t)}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}} = [\frac{A_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}} \cos (2 π n f t) + \frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}} \sin (2 π n f t)]

,
Modèle:Al Modèle:Transparentpuis on définit «

φ_{n}

par

{\begin{matrix} \frac{A_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}} = \cos (φ_{n}) \\ \frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}} = - \sin (φ_{n}) \end{matrix}

»^[12], d'où la réécriture de

\frac{s_{n} (t)}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}

selon
Modèle:Al Modèle:Transparent«

\frac{s_{n} (t)}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}} = [\cos (φ_{n}) \cos (2 π n f t) - \sin (φ_{n}) \sin (2 π n f t)] = \cos (2 π n f t + φ_{n})

» soit finalement
Modèle:Al Modèle:Transparent«

s_{n} (t) = A_{n} \cos (2 π n f t) + B_{n} \sin (2 π n f t) = \sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}} \cos (2 π n f t + φ_{n})

»
Modèle:Al Modèle:Transparent

= C_{n} \cos (2 π n f t + φ_{n})

» d'où «

C_{n} = \sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}

»^[13] et «

φ_{n}

Modèle:Al Modèle:Transparenttel que

{\begin{matrix} \cos (φ_{n}) = \frac{A_{n}}{C_{n}} \\ \sin (φ_{n}) = - \frac{B_{n}}{C_{n}} \end{matrix}}

»^[14].

Troisième développement en série de Fourier

Modèle:Proposition Modèle:AlCe 3^ème développement en série de Fourier^[3] est donné à titre de complément car ne sera pas utilisé par la suite $($ sauf avis contraire $)$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparentil présente néanmoins quelques avantages dont le principal est de donner des formules symétriques pour calculer les cœfficients ${\underline{C^{'}}}_{p} p \in ℤ$ ^[15] :

Modèle:AlCalcul du cœfficient ${\underline{C^{'}}}_{p} p \in ℤ$ : « ${\underline{C^{'}}}_{p} = ⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s (t) \exp (- i 2 π p f t) d t$ »^[2].

Modèle:Al Modèle:TransparentJustification : le théorème de Fourier^[3] étant admis, on multiplie le 3^ème développement en série de Fourier^[3] par « $\exp (- i 2 π p f t)$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparenton prend la moyenne du membre de gauche « $⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩$ »^[2], égale à
Modèle:Al Modèle:Transparentla moyenne du membre de droite, c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparentla somme $($ infinie $)$ des moyennes de ${\underline{C^{'}}}_{p^{'}} \exp [i 2 π (p^{'} - p) f t]$
Modèle:Al Modèle:Transparent« $⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩ = ⟨ {\underline{C^{'}}}_{p} ⟩ + \sum_{p^{'} \neq p}^{- \infty à + \infty} ⟨ {\underline{C^{'}}}_{p^{'}} \exp [i 2 π (p^{'} - p) f t] ⟩$ »^[2] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentor « les moyennes pour $p^{'}$ fixé $\neq p$ sont nulles » ${$ « moyenne $= ⟨ {\underline{C^{'}}}_{p^{'}} \exp [i 2 π (p^{'} - p) f t] ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} {\underline{C^{'}}}_{p^{'}} \exp [i 2 π (p^{'} - p) f t] d t$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= \frac{{\underline{C^{'}}}_{p^{'}}}{T} {[\frac{\exp [i 2 π (p^{'} - p) f t]}{i 2 π (p^{'} - p) f}]}_{0}^{T} = 0$ »^[16] $}$
Modèle:Al Modèle:Transparenton en déduit « $⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩ = ⟨ {\underline{C^{'}}}_{p} ⟩ = {\underline{C^{'}}}_{p}$ »^[17] C.Q.F.D.^[5].

Passage du second au troisième développement en série de Fourier

Modèle:AlLes 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier^[3] devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ $∙$ « ${C^{'}}_{0} = C_{0} (= A_{0})$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « ${\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t) + {\underline{C^{'}}}_{(- p)} \exp (- i 2 π p f t) = C_{p} \cos (2 π p f t + φ_{p}) \forall t$ » ou,
Modèle:Al Modèle:Transparentavec la formule d'Euler^[18] relative au cosinus^[19], « ${\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t) + {\underline{C^{'}}}_{(- p)} \exp (- i 2 π p f t)$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= \frac{C_{p}}{2} \exp [i (2 π p f t + φ_{p})] + \frac{C_{p}}{2} \exp [- i (2 π p f t + φ_{p})] \forall t$ » soit,
Modèle:Al Modèle:Transparentpar identification des cœfficients de $\exp (i 2 π p f t)$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p} = \frac{C_{p}}{2} \exp (i φ_{p}), p \in ℕ^{*}$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparentde $\exp (- i 2 π p f t)$ , « ${\underline{C^{'}}}_{(- p)} = \frac{C_{p}}{2} \exp (- i φ_{p}), p \in ℕ^{*}$ » soit
Modèle:Al Modèle:Transparentfinalement, avec $p \in ℕ^{*}$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p} = \frac{C_{p}}{2} \exp (i φ_{p})$ » et, avec $p^{'} = - p$
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\underline{C^{'}}}_{p^{'}} = {\underline{C^{'}}}_{(- p)} = \frac{C_{p}}{2} \exp (- i φ_{p})$ » $\Rightarrow$ « ${\underline{C^{'}}}_{p^{'}} = {[{\underline{C^{'}}}_{p}]}^{*}$ »
Modèle:Al Modèle:Transparentles cœfficients ${\underline{C^{'}}}_{p}$ et ${\underline{C^{'}}}_{p^{'}}$ étant conjugués l'un de l'autre, il suffit de calculer ${\underline{C^{'}}}_{p}$ pour $p > 0$ .

Passage du premier au troisième développement en série de Fourier

Modèle:AlAutre façon^[20] de déterminer les cœfficients du 3^ème développement en série de Fourier^[3] en utilisant la méthode de calcul de ceux du 1^er développement c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparenten utilisant $∙$ « $A_{0} = ⟨ s (t) ⟩$ »^[2]Modèle:,^[15],
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $A_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩$ »^[2]Modèle:,^[15] et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $B_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩$ »^[2]Modèle:,^[15] ;

Modèle:Alles 1^er et 3^ème développements en série de Fourier^[3] devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ « $s (t) = A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {[A_{n} \cos (2 π n f t) + B_{n} \sin (2 π n f t)]} = \sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [{\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t)]$ » ou,
Modèle:Al Modèle:Transparenten utilisant dans le 1^er développement les « formules d'Euler^[18] »^[19],
Modèle:Al Modèle:Transparent« $s (t) = A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {\frac{A_{n} - i B_{n}}{2} \exp (i 2 π n f t) + \frac{A_{n} + i B_{n}}{2} \exp (- i 2 π n f t)}$ »^[21] et
Modèle:Al Modèle:Transparenten identifiant les cœfficients de $\exp (i 2 π p f t), p \in ℤ$ dans les deux développements
Modèle:Al Modèle:Transparent $▸$ si $p = 0$ , « ${\underline{C^{'}}}_{0} = A_{0}$ » $\Rightarrow$ « ${\underline{C^{'}}}_{0} = ⟨ s (t) ⟩$ »^[2],
Modèle:Al Modèle:Transparent $▸$ si $p \in ℕ^{*}$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p} = \frac{A_{p} - i B_{p}}{2} = ⟨ s (t) [\cos (2 π p f t) - i \sin (2 π p f t)] ⟩$ ^[2]
Modèle:Al Modèle:Transparent $= ⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩$ »^[2] et
Modèle:Al Modèle:Transparent $▸$ si $p \in ℤ^{(-, *)}$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p} = {\underline{C^{'}}}_{(- | p |)} = \frac{A_{(| p |)} + i B_{(| p |)}}{2} = ⟨ s (t) [\cos (2 π | p | f t) + i \sin (2 π | p | f t)] ⟩$ ^[2]
Modèle:Al Modèle:Transparent $= ⟨ s (t) \exp (i 2 π | p | f t) ⟩$ ^[2]
Modèle:Al Modèle:Transparent $= ⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩$ »^[2]Modèle:,^[22].

Théorème de Parseval

Théorème de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier

Modèle:AlConsidérant le 3^ème développement en série de Fourier^[3] de la fonction périodique $s (t)$ de fréquence $f$ , « $s (t) = \sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [{\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t)]$ » dans lequel
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\underline{C^{'}}}_{p} = ⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s (t) \exp (- i 2 π p f t) d t$ »
Modèle:Al Modèle:Transparentest appelé cœfficient de Fourier complexe^[3] de $s$ pour $p \in ℤ$ , et
Modèle:Al Modèle:Transparentformant la série suivante « ${c^{'}}_{n} (s) = \sum_{p \in ℤ}^{- n à + n} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}]$ »^[23], Parseval^[24] a eu l'intuition
Modèle:Al Modèle:Transparentde la « convergence de cette série ${c^{'}}_{n} (s)$ vers $⟨ {[s (t)]}^{2} ⟩$ ».

Modèle:Théorème

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique

Modèle:AlOn utilise la définition du carré de la moyenne quadratique de la fonction

s (t)

en utilisant son 3^ème développement en série de Fourier^[3] soit

«

⟨ s^{2} (t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s^{2} (t) d t =

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} {\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [{\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t)]}^{2} d t

» ;

Modèle:Alpour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés de type «

{\underline{C^{'}}}_{p}^{2} \exp (i 4 π p f t)

» et
Modèle:Al Modèle:Transparentde termes « rectangles

{\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{q} \exp [i 2 π (p + q) f t]

avec

(p, q) \in ℤ^{2}

mais

q \neq p

»
Modèle:Al Modèle:Transparentdont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :

les intégrales des 1^ers termes c.-à-d. de « ${\underline{C^{'}}}_{p}^{2} \exp (i 4 π p f t)$ » $▸$ « $p = 0$ » $\Rightarrow$ « $\int_{0}^{T} {\underline{C^{'}}}_{0}^{2} d t = {\underline{C^{'}}}_{0}^{2} T$ » ou
Modèle:Transparent $▸$ « $p \neq 0$ » $\Rightarrow$ « $\int_{0}^{T} {\underline{C^{'}}}_{p}^{2} \exp (i 4 π p f t) d t = {\underline{C^{'}}}_{p}^{2} {[\frac{\exp (i 4 π p f t)}{i 4 π p f}]}_{0}^{T} = 0$ »^[25] et
les intégrales des 2^èmes termes c.-à-d. de « ${\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{q} \exp [i 2 π (p + q) f t]$ avec $(p, q \neq p) \in ℤ^{2}$ » $▸$ « $q = - p$ » $\Rightarrow$ « $\int_{0}^{T} {\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{- p} d t = | {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2} T$ »^[26] ou
Modèle:Transparent $▸$ « $q \neq - p$ » $\Rightarrow$ « $\int_{0}^{T} {\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{q} \exp [i 2 π (p + q) f t] d t =$
Modèle:Transparent ${\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{q} {[\frac{\exp [i 2 π (p + q) f t]}{i 2 π (p + q) f}]}_{0}^{T} = 0$ »^[27] ;

Modèle:Alfinalement «

⟨ s^{2} (t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} {\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [{\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t)]}^{2} d t \overset{\dots}{=} {\underline{C^{'}}}_{0}^{2} + [\sum_{p \in ℤ^{*}}^{- \infty à - 1 et 1 à + \infty} | {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}]

» d'où, sous forme plus compacte

l'égalité de Parseval^[24] «

⟨ s^{2} (t) ⟩ = \sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} | {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}

».

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2^ème développement en série de Fourier

Modèle:AlSoit le 2^ème développement en série de Fourier^[3] de la fonction périodique $s (t)$ de fréquence $f$ , « $s (t) = C_{0} + \sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} [C_{p} \cos (2 π p f t + φ_{p})]$ » dans lequel
Modèle:Al Modèle:Transparentla composante continue^[1] s'évalue par « $C_{0} = {C^{'}}_{0} = ⟨ s (t) ⟩$ »^[2] et
Modèle:Al Modèle:Transparentl'amplitude de l'harmonique de rang $p$ par « $C_{p} = 2 | {\underline{C^{'}}}_{p} | = 2 | ⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩ |$ »^[2],
Modèle:Alsouhaitant réécrire l'égalité de Parseval^[24] en utilisant ce 2^ème développement en série de Fourier^[3], il suffit de « transformer $\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}]$ en fonction des nouveaux cœfficients $C_{0}$ et $C_{p}$ » soit « $\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}] = C_{0}^{2} + 2 \sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}] = C_{0}^{2} + 2 \sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} [{(\frac{C_{p}}{2})}^{2}]$ »^[28] ou encore « $\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}] =$ $C_{0}^{2} + \frac{1}{2} [\sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} C_{p}^{2}]$ ».

Modèle:Théorème

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1^er développement en série de Fourier

Modèle:AlSoit le 1^er développement en série de Fourier^[3] de la fonction périodique $s (t)$ de fréquence $f$ « $s (t) = A_{0} + \sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} [A_{p} \cos (2 π p f t) + B_{p} \sin (2 π p f t)]$ » dans lequel
Modèle:Al Modèle:Transparentla composante continue^[1] s'évalue par « $A_{0} = {C^{'}}_{0} = ⟨ s (t) ⟩$ »^[2]Modèle:,^[29],
Modèle:Al Modèle:Transparentl'amplitude de l'harmonique pair de rang $p$ par « $A_{p} = 2 ℜ [{\underline{C^{'}}}_{p}] = 2 ℜ [⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩]$ »^[2]Modèle:,^[30] et
Modèle:Al Modèle:Transparentl'amplitude de l'harmonique impair de rang $p$ par « $B_{p} = - 2 ℑ [{\underline{C^{'}}}_{(- p)}] = 2 ℑ [⟨ s (t) \exp (i 2 π p f t) ⟩]$ »^[2]Modèle:,^[30],
Modèle:Alsouhaitant réécrire l'égalité de Parseval^[24] en utilisant ce 1^er développement en série de Fourier^[3], il suffit de « transformer $\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}]$ en fonction des nouveaux cœfficients $A_{0}$ , $A_{p}$ et $B_{p}$ » soit « $\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}] = A_{0}^{2} + 2 \sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}] =$ Modèle:Nobr ou encore « $\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}] = A_{0}^{2} + \frac{1}{2} [\sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} (A_{p}^{2} + B_{p}^{2})]$ ».

Modèle:Théorème

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 et ^1,3 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées continu
↑ ^2,00 ^2,01 ^2,02 ^2,03 ^2,04 ^2,05 ^2,06 ^2,07 ^2,08 ^2,09 ^2,10 ^2,11 ^2,12 ^2,13 ^2,14 ^2,15 ^2,16 ^2,17 ^2,18 ^2,19 ^2,20 ^2,21 ^2,22 ^2,23 ^2,24 et ^2,25 « $\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t$ » définit la valeur moyenne de la fonction $T$ -périodique $f (t)$ , « valeur moyenne notée $⟨ f (t) ⟩$ ».
↑ ^3,00 ^3,01 ^3,02 ^3,03 ^3,04 ^3,05 ^3,06 ^3,07 ^3,08 ^3,09 ^3,10 ^3,11 ^3,12 ^3,13 ^3,14 ^3,15 et ^3,16 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées Fourier
↑ Un harmonique de rang $n \neq 0$ de fréquence $f_{n} = n f$ étant de période $T_{n} = \frac{T}{n}$ et admettant comme primitive un harmonique de même rang $($ à une constante additive près $)$ mais de parité différente $($ à un facteur multiplicatif près $)$ , la prise de cette primitive sur $T = n T_{n}$ donne effectivement zéro, la primitive étant $T_{n}$ -périodique.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 et ^5,3 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ ^6,0 et ^6,1 Ne pas confondre la variable fixée $n$ du facteur multiplicatif avec la variable muette de l'harmonique, rebaptisée $k$ .
↑ En effet, si $k \neq n$ , on linéarise $A_{k} \cos (2 π k f t) \cos (2 π n f t) = \frac{A_{k}}{2} {\cos [2 π (k - n) f t] + \cos [2 π (k + n) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $| k - n | f$ et $(k + n) f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{| k - n |}$ et $\frac{T}{k + n}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
Modèle:Alsi $k \neq n$ , on linéarise $B_{k} \sin (2 π k f t) \cos (2 π n f t) = \frac{B_{k}}{2} {\sin [2 π (k - n) f t] + \sin [2 π (k + n) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $| k - n | f$ et $(k + n) f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{| k - n |}$ et $\frac{T}{k + n}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
Modèle:Alsi $k = n$ , on linéarise $B_{k} \sin (2 π k f t) \cos (2 π n f t) = B_{n} \sin (2 π n f t) \cos (2 π n f t) = \frac{B_{n}}{2} \sin [4 π n f t]$ et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence $2 n f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{2 n}$ donnant une valeur moyenne nulle sur $T$ .
↑ ^8,0 et ^8,1 En effet on prend la moyenne sur $T$ d'une fonction sinusoïdale de fréquence $2 n f$ donc de période $\frac{T}{2 n}$ .
↑ Dans la mesure où « $⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩ = \frac{A_{n}}{2}$ est équivalent à $A_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩$ ».
↑ En effet, si $k \neq n$ , on linéarise $A_{k} \cos (2 π k f t) \sin (2 π n f t) = \frac{A_{k}}{2} {\sin [2 π (n + k) f t] + \sin [2 π (n - k) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $(n + k) f$ et $| n - k | f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{n + k}$ et $\frac{T}{| n - k |}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
Modèle:Alsi $k = n$ , on linéarise $A_{k} \cos (2 π k f t) \sin (2 π n f t) = A_{n} \cos (2 π n f t) \sin (2 π n f t) = \frac{A_{n}}{2} \sin [4 π n f t]$ et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence $2 n f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{2 n}$ donnant une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
Modèle:Alsi $k \neq n$ , on linéarise $B_{k} \sin (2 π k f t) \sin (2 π n f t) = \frac{B_{k}}{2} {\cos [2 π (k - n) f t] - \cos [2 π (k + n) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $| k - n | f$ et $(k + n) f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{| k - n |}$ et $\frac{T}{k + n}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ .
↑ Dans la mesure où « $⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩ = \frac{B_{n}}{2}$ est équivalent à $B_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩$ ».
↑ Ceci est possible car ${[\frac{A_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}]}^{2} + {[\frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}]}^{2} = 1$ $\Rightarrow$ il existe un angle tel que $\frac{A_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ et $\frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ sont respectivement cosinus et sinus de cet angle ; d'autre part le but étant d'utiliser $\cos (a + b) = \cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)$ on introduit le signe « $-$ » dans $\frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ .
↑ $C_{n}$ étant $> 0$ représente directement l'amplitude de l'harmonique de rang $n$ .
↑ Si ${\begin{matrix} A_{n} est > 0 \\ et B_{n} > 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] - \frac{π}{2}, 0 [$ et si ${\begin{matrix} A_{n} est > 0 \\ et B_{n} < 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] 0, \frac{π}{2} [$ , dans ces deux cas on peut écrire $φ_{n} =$ $- \arctan (\frac{B_{n}}{A_{n}})$ ${$ on verra dans le paragraphe sur la « fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'un angle ne peut se mettre sous la forme d'un $\arctan ()$ que s'il est strictement compris entre $- \frac{π}{2}$ et $\frac{π}{2}}$ ;
Modèle:Alsi ${\begin{matrix} A_{n} est < 0 \\ et B_{n} > 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] - π, - \frac{π}{2} [$ et on peut écrire $φ_{n} = - \arctan (\frac{B_{n}}{A_{n}}) - π$ ;
Modèle:Alsi ${\begin{matrix} A_{n} est < 0 \\ et B_{n} < 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] \frac{π}{2}, π [$ et on peut écrire $φ_{n} = - \arctan (\frac{B_{n}}{A_{n}}) + π$ .
↑ ^15,0 ^15,1 ^15,2 et ^15,3 Il est toutefois rappelé que le calcul des cœfficients est donné à titre de complément car non exigible cette année.
↑ La fonction à prendre entre $0$ et $T$ étant $\frac{T}{| p^{'} - p |}$ -périodique $\dots$
↑ La moyenne d'une constante étant la constante elle-même.
↑ ^18,0 et ^18,1 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal}} et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
↑ ^19,0 et ^19,1 La formule d'Euler étant $\exp (i x) = \cos (x) + i \sin (x)$ on en tire les formules d'Euler relatives au cosinus ou au sinus respectivement $\cos (x) = \frac{\exp (i x) + \exp (- i x)}{2}$ et $\sin (x) =$ $\frac{\exp (i x) - \exp (- i x)}{2 i}$ .
↑ Moins immédiate.
↑ En effet « $s (t) = A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {[A_{n} \frac{\exp (i 2 π n f t) + \exp (- i 2 π n f t)}{2} + B_{n} \frac{\exp (i 2 π n f t) - \exp (- i 2 π n f t)}{2 i}]}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {\frac{A_{n} - i B_{n}}{2} \exp (i 2 π n f t) + \frac{A_{n} + i B_{n}}{2} \exp (- i 2 π n f t)}$ ».
↑ Cette dernière expression sachant que « $| p | = - p pour p \in ℤ^{(-, *)}$ ».
↑ C.-à-d. la somme de tous les carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de $s$ correspondant à un harmonique de rang $⩽ n$ .
↑ ^24,0 ^24,1 ^24,2 et ^24,3 Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval $($ ou égalité de Parseval $)$ » dont il eut l'intuition sans le démontrer $($ il estimait que c'était une évidence $)$ .
↑ La fonction $\exp (i 4 π p f t)$ étant $\frac{T}{2 | p |}$ -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour $0$ et $T = 2 | p | \frac{T}{2 | p |}$ .
↑ On rappelle que ${\underline{C^{'}}}_{p}$ se calculant par $⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩$ voir le paragraphe « 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre et $s (t)$ étant une fonction réelle, le conjugué de ${\underline{C^{'}}}_{p}$ c.-à-d. ${[{\underline{C^{'}}}_{p}]}^{*} = ⟨ s (t) \exp (i 2 π p f t) ⟩ = {\underline{C^{'}}}_{- p}$ d'où ${\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{- p} =$ ${\underline{C^{'}}}_{p} {[{\underline{C^{'}}}_{p}]}^{*} = | {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}$ .
↑ La fonction $\exp [i 2 π (p + q) f t]$ étant $\frac{T}{| p + q |}$ -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour $0$ et $T = | p + q | \frac{T}{| p + q |}$ .
↑ On rappelle que ${\underline{C^{'}}}_{p}$ et ${\underline{C^{'}}}_{(- p)}$ étant conjugués ont même module.
↑ On a en effet établi que ${\underline{C^{'}}}_{0} = A_{0}$ , voir le paragraphe « passage du 1^er au 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^30,0 et ^30,1 On a en effet établi que ${\underline{C^{'}}}_{p} = \frac{A_{p} - i B_{p}}{2} p \in ℕ^{*}$ et ${\underline{C^{'}}}_{(- p)} = \frac{A_{p} + i B_{p}}{2} p \in ℕ^{*}$ ${$ voir le paragraphe « passage du 1^er au 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre $}$ d'où les expressions de $A_{p}$ et $B_{p}$ en fonction des cœfficients de Fourier complexes de $s$ .

Modèle:Bas de page

[continu-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 et ^1,3 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées continu

[Valeur_moyenne-2] 2,00 ^2,01 ^2,02 ^2,03 ^2,04 ^2,05 ^2,06 ^2,07 ^2,08 ^2,09 ^2,10 ^2,11 ^2,12 ^2,13 ^2,14 ^2,15 ^2,16 ^2,17 ^2,18 ^2,19 ^2,20 ^2,21 ^2,22 ^2,23 ^2,24 et ^2,25 « $\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t$ » définit la valeur moyenne de la fonction $T$ -périodique $f (t)$ , « valeur moyenne notée $⟨ f (t) ⟩$ ».

[Fourier-3] 3,00 ^3,01 ^3,02 ^3,03 ^3,04 ^3,05 ^3,06 ^3,07 ^3,08 ^3,09 ^3,10 ^3,11 ^3,12 ^3,13 ^3,14 ^3,15 et ^3,16 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées Fourier

[4] Un harmonique de rang $n \neq 0$ de fréquence $f_{n} = n f$ étant de période $T_{n} = \frac{T}{n}$ et admettant comme primitive un harmonique de même rang $($ à une constante additive près $)$ mais de parité différente $($ à un facteur multiplicatif près $)$ , la prise de cette primitive sur $T = n T_{n}$ donne effectivement zéro, la primitive étant $T_{n}$ -périodique.

[C.Q.F.D.-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 et ^5,3 Ce Qu'il Fallait Démontrer.

[Notation_variable_muette-6] 6,0 et ^6,1 Ne pas confondre la variable fixée $n$ du facteur multiplicatif avec la variable muette de l'harmonique, rebaptisée $k$ .

[7] En effet, si $k \neq n$ , on linéarise $A_{k} \cos (2 π k f t) \cos (2 π n f t) = \frac{A_{k}}{2} {\cos [2 π (k - n) f t] + \cos [2 π (k + n) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $| k - n | f$ et $(k + n) f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{| k - n |}$ et $\frac{T}{k + n}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
Modèle:Alsi $k \neq n$ , on linéarise $B_{k} \sin (2 π k f t) \cos (2 π n f t) = \frac{B_{k}}{2} {\sin [2 π (k - n) f t] + \sin [2 π (k + n) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $| k - n | f$ et $(k + n) f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{| k - n |}$ et $\frac{T}{k + n}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
Modèle:Alsi $k = n$ , on linéarise $B_{k} \sin (2 π k f t) \cos (2 π n f t) = B_{n} \sin (2 π n f t) \cos (2 π n f t) = \frac{B_{n}}{2} \sin [4 π n f t]$ et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence $2 n f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{2 n}$ donnant une valeur moyenne nulle sur $T$ .

[Moyenne_nulle-8] 8,0 et ^8,1 En effet on prend la moyenne sur $T$ d'une fonction sinusoïdale de fréquence $2 n f$ donc de période $\frac{T}{2 n}$ .

[9] Dans la mesure où « $⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩ = \frac{A_{n}}{2}$ est équivalent à $A_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩$ ».

[10] En effet, si $k \neq n$ , on linéarise $A_{k} \cos (2 π k f t) \sin (2 π n f t) = \frac{A_{k}}{2} {\sin [2 π (n + k) f t] + \sin [2 π (n - k) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $(n + k) f$ et $| n - k | f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{n + k}$ et $\frac{T}{| n - k |}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
Modèle:Alsi $k = n$ , on linéarise $A_{k} \cos (2 π k f t) \sin (2 π n f t) = A_{n} \cos (2 π n f t) \sin (2 π n f t) = \frac{A_{n}}{2} \sin [4 π n f t]$ et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence $2 n f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{2 n}$ donnant une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
Modèle:Alsi $k \neq n$ , on linéarise $B_{k} \sin (2 π k f t) \sin (2 π n f t) = \frac{B_{k}}{2} {\cos [2 π (k - n) f t] - \cos [2 π (k + n) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $| k - n | f$ et $(k + n) f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{| k - n |}$ et $\frac{T}{k + n}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ .

[11] Dans la mesure où « $⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩ = \frac{B_{n}}{2}$ est équivalent à $B_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩$ ».

[12] Ceci est possible car ${[\frac{A_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}]}^{2} + {[\frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}]}^{2} = 1$ $\Rightarrow$ il existe un angle tel que $\frac{A_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ et $\frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ sont respectivement cosinus et sinus de cet angle ; d'autre part le but étant d'utiliser $\cos (a + b) = \cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)$ on introduit le signe « $-$ » dans $\frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ .

[13] $C_{n}$ étant $> 0$ représente directement l'amplitude de l'harmonique de rang $n$ .

[14] Si ${\begin{matrix} A_{n} est > 0 \\ et B_{n} > 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] - \frac{π}{2}, 0 [$ et si ${\begin{matrix} A_{n} est > 0 \\ et B_{n} < 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] 0, \frac{π}{2} [$ , dans ces deux cas on peut écrire $φ_{n} =$ $- \arctan (\frac{B_{n}}{A_{n}})$ ${$ on verra dans le paragraphe sur la « fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'un angle ne peut se mettre sous la forme d'un $\arctan ()$ que s'il est strictement compris entre $- \frac{π}{2}$ et $\frac{π}{2}}$ ;
Modèle:Alsi ${\begin{matrix} A_{n} est < 0 \\ et B_{n} > 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] - π, - \frac{π}{2} [$ et on peut écrire $φ_{n} = - \arctan (\frac{B_{n}}{A_{n}}) - π$ ;
Modèle:Alsi ${\begin{matrix} A_{n} est < 0 \\ et B_{n} < 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] \frac{π}{2}, π [$ et on peut écrire $φ_{n} = - \arctan (\frac{B_{n}}{A_{n}}) + π$ .

[Complément-15] 15,0 ^15,1 ^15,2 et ^15,3 Il est toutefois rappelé que le calcul des cœfficients est donné à titre de complément car non exigible cette année.

[16] La fonction à prendre entre $0$ et $T$ étant $\frac{T}{| p^{'} - p |}$ -périodique $\dots$

[17] La moyenne d'une constante étant la constante elle-même.

[Euler-18] 18,0 et ^18,1 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal}} et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.

[Formules_d'Euler-19] 19,0 et ^19,1 La formule d'Euler étant $\exp (i x) = \cos (x) + i \sin (x)$ on en tire les formules d'Euler relatives au cosinus ou au sinus respectivement $\cos (x) = \frac{\exp (i x) + \exp (- i x)}{2}$ et $\sin (x) =$ $\frac{\exp (i x) - \exp (- i x)}{2 i}$ .

[20] Moins immédiate.

[21] En effet « $s (t) = A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {[A_{n} \frac{\exp (i 2 π n f t) + \exp (- i 2 π n f t)}{2} + B_{n} \frac{\exp (i 2 π n f t) - \exp (- i 2 π n f t)}{2 i}]}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {\frac{A_{n} - i B_{n}}{2} \exp (i 2 π n f t) + \frac{A_{n} + i B_{n}}{2} \exp (- i 2 π n f t)}$ ».

[22] Cette dernière expression sachant que « $| p | = - p pour p \in ℤ^{(-, *)}$ ».

[23] C.-à-d. la somme de tous les carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de $s$ correspondant à un harmonique de rang $⩽ n$ .

[Parseval-24] 24,0 ^24,1 ^24,2 et ^24,3 Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval $($ ou égalité de Parseval $)$ » dont il eut l'intuition sans le démontrer $($ il estimait que c'était une évidence $)$ .

[25] La fonction $\exp (i 4 π p f t)$ étant $\frac{T}{2 | p |}$ -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour $0$ et $T = 2 | p | \frac{T}{2 | p |}$ .

[26] On rappelle que ${\underline{C^{'}}}_{p}$ se calculant par $⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩$ voir le paragraphe « 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre et $s (t)$ étant une fonction réelle, le conjugué de ${\underline{C^{'}}}_{p}$ c.-à-d. ${[{\underline{C^{'}}}_{p}]}^{*} = ⟨ s (t) \exp (i 2 π p f t) ⟩ = {\underline{C^{'}}}_{- p}$ d'où ${\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{- p} =$ ${\underline{C^{'}}}_{p} {[{\underline{C^{'}}}_{p}]}^{*} = | {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}$ .

[27] La fonction $\exp [i 2 π (p + q) f t]$ étant $\frac{T}{| p + q |}$ -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour $0$ et $T = | p + q | \frac{T}{| p + q |}$ .

[28] On rappelle que ${\underline{C^{'}}}_{p}$ et ${\underline{C^{'}}}_{(- p)}$ étant conjugués ont même module.

[29] On a en effet établi que ${\underline{C^{'}}}_{0} = A_{0}$ , voir le paragraphe « passage du 1^er au 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre.

[expressions_de_Ap_et_Bp-30] 30,0 et ^30,1 On a en effet établi que ${\underline{C^{'}}}_{p} = \frac{A_{p} - i B_{p}}{2} p \in ℕ^{*}$ et ${\underline{C^{'}}}_{(- p)} = \frac{A_{p} + i B_{p}}{2} p \in ℕ^{*}$ ${$ voir le paragraphe « passage du 1^er au 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre $}$ d'où les expressions de $A_{p}$ et $B_{p}$ en fonction des cœfficients de Fourier complexes de $s$ .

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier

Sommaire

Énoncé du théorème de Fourier

Premier développement en série de Fourier

Deuxième développement en série de Fourier

Passage du premier au second développement en série de Fourier

Troisième développement en série de Fourier

Passage du second au troisième développement en série de Fourier

Passage du premier au troisième développement en série de Fourier

Théorème de Parseval

Théorème de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2^ème développement en série de Fourier

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1^er développement en série de Fourier

Notes et références

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier

Énoncé du théorème de Fourier

Premier développement en série de Fourier

Deuxième développement en série de Fourier

Passage du premier au second développement en série de Fourier

Troisième développement en série de Fourier

Passage du second au troisième développement en série de Fourier

Passage du premier au troisième développement en série de Fourier

Théorème de Parseval

Théorème de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2ème développement en série de Fourier

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1er développement en série de Fourier

Notes et références

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Théorème de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2^ème développement en série de Fourier

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1^er développement en série de Fourier