Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique/Espaces hilbertiens

Introduction

La mécanique quantique utilise dans son formalisme moderne des vecteurs agissant dans des espaces complexes, appelés espaces hilbertiens. Nous rappelons dans ce chapitre de quoi il s'agit.

Définitions

Ce produit scalaire est, on le rappelle, une forme sesquilinéaire définie positive non dégénérée — si la sesquilinéarité est indifférente pour des espaces préhilbertiens réels, il faut pour les espaces complexes que le produit scalaire vérifie :

$\mathrm{\forall }(a,b)\in E^2⟨a,b⟩=⟨b,a{⟩}^{*}$

où $(E,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ est un espace préhilbertien, et où l'étoile note le conjugué complexe d'une quantité.

Bases de Hilbert

La notion de « base orthonormée » peut être étendue aux espaces hilbertiens de dimension infinie, prenant la définition suivante :

Remarquons cependant qu'au sens usuel (de l'algèbre linéaire), si $E$ est de dimension infinie alors $B$ n'est pas génératrice (donc n'est pas une base) de $E$ et la plupart des vecteurs de $E$ n'ont donc pas de coordonnées dans $B$.

Intérêt en mécanique quantique

Les espaces hilbertiens permettent une formulation élégante de la mécanique quantique, qui demeure à ce jour la plus utilisée. En effet, l'état d'un système physique sera décrit par un vecteur d'un espace hilbertien. Les observables, qui sont, pour résumer à outrance, les quantités « mesurables », apparaissent comme des [[../Opérateurs linéaires|opérateurs linéaires]]. Enfin, le processus de la mesure se fait par projections orthogonales.