Onde mécanique progressive/Pourquoi la guitare émet-elle un son ?

Source du son : la corde de la guitare

On va étudier le comportement de la corde avec les approximations suivantes :

• le poids de la corde est négligeable devant la tension de la corde;
• la tension de la corde a une valeur constante (corde inextensible et non élastique), on note $\Vert \overrightarrow{T}\Vert =T_0$.

Fichier:Onde dans une corde.svg

D'après le théorème fondamental de la dynamique appliqué à l'élément de corde dans le référentiel d'étude, supposé galiléen on a :

$\mu \mathrm{d}x\overrightarrow{a}=\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}$

où $\mu$ désigne la masse linéique de la corde. En projetant cette relation sur l'axe $(Oz)$ :

$\mu \mathrm{d}x\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}(x,t)=-T_0\sin (\alpha (x))+T_0\sin (\alpha (x+\mathrm{d}x))$

Soit en effectuant le développement limité de $\sin (\alpha (x))$ au premier ordre : $\sin (\alpha (x+\mathrm{d}x))-\sin (\alpha (x))=\frac{\partial \sin \alpha }{\partial x}\mathrm{d}x$ :

$\mu \mathrm{d}x\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}(x,t)=T_0\frac{\partial \sin \alpha }{\partial x}\mathrm{d}x$

L'angle $\alpha$ étant petit $\sin \alpha \sim \alpha \sim \tan \alpha \sim \frac{z(x+\mathrm{d}x,t)-z(x,t)}{\mathrm{d}x}\sim \frac{\partial z}{\partial x}(x,t)$, on obtient l'équation différentielle :

$\mu \frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}(x,t)=T_0\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}(x,t)$

Soit :

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}(x,t)-\frac{\mu }{T_0}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}(x,t)=0$

Cette équation est appelée équation de d'Alembert.

Que l’on note aussi:

$c^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}(x,t)-\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}(x,t)=0$

$c^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}(x,t)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}(x,t)$

Où c est la célérité de l'onde. Et donc $c=\sqrt{\frac{T_0}{\mu }}$

Mouvements possibles

On suppose que la corde est tendue à l'extrémité gauche, ce qui correspond à $z(0,t)=0$. On note aussi $l$ la longueur de la corde. De plus, à la condition initiale $t=0$, on suppose que la corde est au repos, c'est-à-dire que $z(x,0)=0$. De ces deux conditions initiales on déduit entièrement l'évolution temporelle du mouvement de la corde. Deux cas sont possibles :

1. Un mouvement ponctuel à l'extrémité droite de la corde. Dans ce cas, on peut supposer $z(l,t)=z_0(t)\ne 0$ pour $t$ suffisamment petit. L'équation différentielle devient alors :

$\mu \frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}(x,t)=T_0\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}(x,t),0⩽x⩽l$

avec les conditions initiales $z(0,t)=0$ et $z(l,t)=z_0(t)$. La solution de cette équation différentielle est :

$z(x,t)=z_0(t-\frac{x}{c})$

Fichier:Onde mécanique dans une corde.png

Onde mécanique dans une corde

1. Un mouvement ponctuel au milieu de la corde. Dans ce cas, on peut supposer $z(\frac{l}{2},t)=z_0(t)\ne 0$ pour $t$ suffisamment petit. L'équation différentielle devient alors :

$\mu \frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}(x,t)=T_0\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}(x,t),0⩽x⩽l$

avec les conditions initiales $z(\frac{l}{2},t)=z_0(t)$ et $z(0,t)=z(l,t)=0$. La solution de cette équation différentielle est :

$z(x,t)=\frac{z_0(t-\frac{|x-\frac{l}{2}|}{c})}{2}$

Fichier:Onde mécanique dans une corde.png

Onde mécanique dans une corde

Modèle:Bas de page