Notions sur les différentielles/Différentielle totale

On a montré dans le chapitre précédent que la différentielle d’une fonction peut se décomposer en une somme de différentielles de ses variables. On se pose maintenant la question inverse : si l’on a une somme de différentielles de plusieurs variables, est-ce qu'on peut trouver une fonction dont la différentielle est égale à cette somme ? Avant d'y répondre on va poser le problème plus proprement. Modèle:Définition

On ne va pas démontrer la réponse à cette question ici, on se contente de la donner : l’expression précédente est une différentielle totale si et seulement si les trois relations suivantes sont vérifiées :

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$,
$\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}$, et
$\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$,

Conséquence sur les relations entre dérivées partielles de fonctions implicites

On s'intéresse au cas d’une fonction f telle que $f(x,y,z)=0$. Dans ce cas, les variables x, y, et z sont implicitement liées entre elles : x(y,z), y(x,z), z(x,y). On a, d’après le chapitre précédent :

$\mathrm{d}x$	$=\frac{\partial x}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial x}{\partial z}\mathrm{d}z$
	$=\frac{\partial x}{\partial y}(\frac{\partial y}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial y}{\partial z}\mathrm{d}z)+\frac{\partial x}{\partial z}\mathrm{d}z$
	$=\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}\mathrm{d}x+(\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}+\frac{\partial x}{\partial z})\mathrm{d}z$

Or cela est valable pour tout dx et pour tout dz. On peut donc supposer successivement que dz = 0 puis que dx = 0 :

• Pour dz = 0 on obtient la relation importante :

• Pour dx = 0 on obtient une autre relation :

$\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}+\frac{\partial x}{\partial z}=0$

D'où :