Notions de thermodynamique relativiste/Gaz parfait relativiste

On considère ici des particules qui se déplacent avec une très grande vitesse sans interactions. On est donc en présence d'un gaz parfait relativiste.

L' énergie totale d'une particule dans le référentiel du laboratoire, (i.e. celui par rapport auquel la particule est animée de la vitesse $\overrightarrow{v}$ puisque l'énergie dépend du référentiel) est :

$E=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-(v^2/c^2)}}=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}.m{c}^2=\gamma .m{c}^2$

L'énergie totale d'une particule est égale à la somme de l'énergie au repos mcModèle:Exp contenue dans sa masse et de l'énergie cinétique $E_{cin}$.
L'énergie cinétique d'une particule est donc donnée par l'expression :

$\acute{\mathrm{E}}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}=E_{cin}=E-m{c}^2=m{c}^2(\frac{1}{\sqrt{1-(v^2/c^2)}}-1)=m{c}^2(\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}-1)=m{c}^2(\gamma -1)$

L'impulsion dans le référentiel du laboratoire est:

$\overrightarrow{p}=\frac{m\overrightarrow{v}}{\sqrt{1-(v^2/c^2)}}=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}.m.\overrightarrow{v}=\gamma .m.\overrightarrow{v}$

Relation des gaz parfaits

La relation PV = NkT ou PV = nRT reste valable pour le gaz parfait relativiste.

où : T est la température ; N le nombre de particules du gaz ; V le volume occupé par le gaz ; k la constante de Boltzman ; n le nombre de moles et R la constante des gaz parfaits.

Fonction de Bessel modifiée de seconde espèce
K₂(X) : - • - • - • -

Fonction de partition Z du gaz parfait relativiste monoatomique

• voir Thermodynamique statistique/Grandeurs thermodynamiques

Outre l'énergie correspondant à la masse m, dans un gaz parfait monoatomique, l'énergie de translation et l'énergie interne (i.e. énergie nucléaire et énergie électronique) vont intervenir. La fonction de partition d'une espèce sera alors de la forme:

$Z(T,V,1)={ℨ}_{transl}\times {ℨ}_{elect}\times {ℨ}_{nucl}={ℨ}_{transl}\times {ℨ}_{int}$,

La fonction de partition d'une particule relativiste est.:

$Z(T,V,1)=4\pi V{\left(\frac{mc}{h}\right)}^3\exp (u)\frac{K_2(u)}{u}\times {ℨ}_{int}$,

où : m est la masse de chaque particule ; c la vitesse de la lumière ; h la constante de Planck ;

$u=\frac{m{c}^2}{kT}=\beta m{c}^2$,

$K_n(x)=$ Fonction de Bessel modifiée de seconde espèce, ( voir Fonction de Bessel modifiée sur Wikipédia )

La fonction de partition canonique du gaz parfait relativiste monoatomique s'obtient alors par

$Z(T,V,N)=\frac{1}{N!}{\{Z(T,V,1)\}}^N$,

Calcul des grandeurs thermodynamiques relativistes d'un gaz parfait monoatomique

L'énergie libre F se calcule à partir de la relation F(T,V,N) = - kT Ln Z(T,V,N). La contribution de la translation à énergie libre F_trans est alors:

$F_{trans}=-NkT\{\mathrm{L}\mathrm{n}\left[\frac{4\pi V}{N}{\left(\frac{mc}{h}\right)}^3\frac{K_2(u)}{u}\right]+1\}-Nm{c}^2$

F = U - TS

G = U - TS + PV = F + PV = F + NkT donc

La contribution de la translation à enthalpie libre G_trans est alors:

$G_{trans}=-NkT\left\{\mathrm{L}\mathrm{n}\left[\frac{4\pi V}{N}{\left(\frac{mc}{h}\right)}^3\frac{K_2(u)}{u}\right]\right\}-Nm{c}^2$

D'autre part, G = μ.N

donc,

${\mu }_{trans}=-kT\left\{\mathrm{L}\mathrm{n}\left[\frac{4\pi V}{N}{\left(\frac{mc}{h}\right)}^3\frac{K_2(u)}{u}\right]\right\}-m{c}^2$

La contribution de la translation à l'entropie S se calcule par $S=-{\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)}_{V,N}$

$S_{trans}=Nk\{\log \left[\frac{4\pi V}{N}{\left(\frac{mc}{h}\right)}^3\frac{K_2(u)}{u}\right]+4+\frac{K_1(u)}{K_2(u)}\}$

Comme U = F + T.S , alors:

$U_{trans}=Nm{c}^2[\frac{K_1(u)}{K_2(u)}+\frac{3}{u}-1]$

Le gaz parfait non relativiste (classique) correspond à $u⟶\mathrm{\infty }$ alors:

$U=\frac{3}{2}NkT$

Pour le gaz parfait ultrarelativiste, alors $u⟶0\mathrm{e}\mathrm{t}\frac{K_1(u)}{K_2(u)}⟶u/2,\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{:}$

$U=3NkT$

L'enthalpie H se calcule à partir de H = U + PV = U + NkT , soit:

$H_{transl}=Nm{c}^2[\frac{K_1(u)}{K_2(u)}+\frac{4}{u}-1]$

Pour le gaz parfait classique:

$H_{transl}=\frac{5}{2}NkT$

Pour le gaz parfait ultrarelativiste:

$H_{transl}=4NkT$

Les capacités calorifiques sont:

$C_v={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V,N}=-\frac{u}{T}\times {\left(\frac{\partial U}{\partial u}\right)}_{V,N}$

$C_v=Nku\{u+\frac{3}{u}-\frac{K_1(u)}{K_2(u)}[3+u\frac{K_1(u)}{K_2(u)}]\}$

Dans les conditions non relativistes (classiques), on aura:

$C_v=\frac{3}{2}Nk$

et pour des conditions ultrarelativistes,

$C_v=3Nk$

Pour C_P, on aura:

$C_P=Nku\{u+\frac{4}{u}-\frac{K_1(u)}{K_2(u)}[3+u\frac{K_1(u)}{K_2(u)}]\}$

Dans les conditions non relativistes (classiques), on aura:

$C_P=\frac{5}{2}Nk$

et pour des conditions ultrarelativistes,

$C_P=4Nk$

Cas des gaz parfaits multiatomiques

Ici, outre l'énergie correspondant à la masse m, dans un gaz parfait multiatomique, les contributions à l'énergie seront: la translation, la rotation, la vibration et l'énergie interne (électronique et nucléaire). La fonction de partition d'une espèce sera alors de la forme:

$Z(T,V,1)={ℨ}_{transl}\times {ℨ}_{rot}\times {ℨ}_{vib}\times {ℨ}_{elect}\times {ℨ}_{nucl}$,

$Z(T,V,1)={ℨ}_{transl}\times {ℨ}_{rot}\times {ℨ}_{vib}\times {ℨ}_{int}$

• suite à venir

Notes

• $K_n(x)=\frac{2^n{x}^n\mathrm{\Gamma }(n+1/2)}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos \zeta \text{d}\zeta }{({\zeta }^2+x^2{)}^{n+1/2}}$ (w:Fonction de Bessel modifiée de seconde espèce)
• $k=k_B=1,38064852\times 10^{-23}\mathrm{J}\mathrm{\cdot }{\mathrm{K}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$
• $c=299792458\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$
• Le nombre d'Avogadro $𝒩$ est égal à NModèle:Ind = Modèle:Unité (nombre de particules dans une mole).
• $R=𝒩\cdot k_B$ ; d'où $R=8,3144598\mathrm{J}\mathrm{\cdot }\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{K}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$