Nombres complexes/Fiche/Nombres complexes et trigonométrie

Rappels sur les nombres complexes

• $\mathrm{\forall }z\in ℂ,Re(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}\text{ et }Im(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}$
• Inégalité triangulaire : $|z+z^{\prime }|⩽|z|+|z^{\prime }|$
• Pour tous réels $a,b$ vérifiant $a^2+b^2=1$, il existe un réel $\theta$ tel que : $a=\cos \theta$ et $b=\sin \theta$

Rappels sur la trigonométrie

Dérivée des fonctions usuelles

• ${\cos }^{\prime }(x)=-\sin (x)$
• ${\sin }^{\prime }(x)=\cos (x)$
• ${\tan }^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}=1+{\tan }^2(x)$

Cosinus, sinus et tangente d'une somme

• $\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$
• $\cos (a-b)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)$
• $\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$
• $\sin (a-b)=\sin (a)\cos (b)-\cos (a)\sin (b)$
• $\tan (a+b)=\frac{\tan (a)+\tan (b)}{1-\tan (a)\tan (b)}$
• $\tan (a-b)=\frac{\tan (a)-\tan (b)}{1+\tan (a)\tan (b)}$

Produit de cosinus, sinus ou tangente

• $\cos (a)\cos (b)=\frac{1}{2}(\cos (a-b)+\cos (a+b))$
• $\sin (a)\sin (b)=\frac{1}{2}(\cos (a-b)-\cos (a+b))$
• $\sin (a)\cos (b)=\frac{1}{2}(\sin (a+b)+\sin (a-b))$
• $\cos (a)\sin (b)=\frac{1}{2}(\sin (a+b)-\sin (a-b))$

Somme de cosinus, sinus ou tangente

• $\sin (p)+\sin (q)=2\sin (\frac{p+q}{2})\cos (\frac{p-q}{2})$
• $\sin (p)-\sin (q)=2\cos (\frac{p+q}{2})\sin (\frac{p-q}{2})$
• $\cos (p)+\cos (q)=2coq(\frac{p+q}{2})\cos (\frac{p-q}{2})$
• $\cos (p)-\cos (q)=-2\sin (\frac{p+q}{2})\sin (\frac{p-q}{2})$

Formules de duplication

• $\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)=2{\cos }^2(x)-1=1-2{\sin }^2(x)$
• $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$
• $\tan (2x)=\frac{2\tan (x)}{1-{\tan }^2(x)}$

Formules de linérisation

• ${\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$
• ${\sin }^2(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}$

Substitution de la tangente

On pose $t=\tan (\frac{x}{2})$

• $\sin (x)=\frac{2t}{1+t^2}$
• $\cos (x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
• $\tan (x)=\frac{2t}{1-t^2}$

Formules avancées

Formule d'Euler

• $\cos (x)=Re(e^{i\theta })=\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$
• $\sin (x)=Im(e^{i\theta })=\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$
• Remarque : On utilisera ces deux formules pour linéariser des expressions de la forme ${\cos }^p(\theta )+{\sin }^n(\theta )$

Formule de Moivre

• Soient $\theta \in ℝ$ et $n\in \mathbb{N}$, alors :
  $\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )=e^{in\theta }=(e^{i\theta }{)}^n=(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n$

Binôme de Newton

• Rappel : $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
• Soient $a,b$ des nombres réels ou complexes et $n$ un entier naturel
  $(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$

Application du binôme

• Soient $\theta \in ℝ$ et $n\in \mathbb{N}$, alors :
  $\cos (n\theta )=\sum _{\stackrel{k=0}{\text{k pair}}}^{\stackrel{n}{n}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}(\theta )i^k{\sin }^k(\theta )$
  $\sin (n\theta )=\frac{1}{2}\sum _{\stackrel{k=0}{\text{k impair}}}^{\stackrel{n}{n}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}(\theta )i^k{\sin }^k(\theta )$

Racines n^ième d'un nombre complexe d'équations du second degré

Introduction

• Soit $z\in {ℂ}^{*}$, alors $z^n$ admet exactement $n$ racines $n$^ièmes 2 à 2 distinctes.
• Les racines carrées des nombres complexes de $R\cdot e^{i\theta }$ sont $\sqrt{R}\cdot e^{i\frac{\theta }{2}}$ et $-\sqrt{R}\cdot e^{i\frac{\theta }{2}}$.

Racines de l'unité

• Les racines de l'unité sont :
  ${\omega }_k=e^{\frac{2ik\pi }{n}},k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$
• Les racines cubiques de l'unité sont $1$, $j$ et $j^2$, où :
  $j=e^{\frac{2\pi i}{3}}=\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$
• De plus, on a : $\overline{j}=j^2$ et $j^2+j+1=0$

Calculs algébriques des racines carrées

• Pour obtenir les racines carrées de $Z=X+iY\in {ℂ}^{*}$ sous forme algébrique, on résout $z^2=Z$
  $z^2=Z\iff \{\begin{array}{c}(x+iy{)}^2=X+iY\\ |z{|}^2=|Z|\end{array}$

Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes

• Soient $a,b,c$ des nombres complexes avec $a\ne 0$
  On veut résoudre $a{z}^2+bz+c=0$.
  On pose $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$.
  • Si $\mathrm{\Delta }\ne 0$, les solutions de l'équation sont $\frac{-b+\delta }{2a}$ et $\frac{-b-\delta }{2a}$ (où $\delta$ est une racine carrée de $\mathrm{\Delta }$)
  • Si $\mathrm{\Delta }=0$, alors l'équation a une solution double : $\frac{-b}{2a}$

Remarque : si $z_1$ et $z_2$ sont solutions de l'équation $a{z}^2+bz+c=0$, alors $z_1+z_2=\frac{-b}{a}$ et $z_1{z}_2=\frac{c}{a}$

Proposition sur la somme et le produit des racines

• Si $z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes dont on connaît la somme $S$ et le produit $P$.
  Alors $z_1$ et $z_2$ sont solutions de l'équation $z^2-Sz+P=0$.

Application des nombres complexes à la géométrie

Quelques rappels utiles ...

• Soient $A(a),B(b),M(z)$ des points de $P$ (avec $M\ne A$ et $M\ne B$)
  • $\frac{MA}{MB}=|\frac{z-a}{z-b}|$
  • $(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})=\arg (\frac{z-a}{z-b})$
  • Les points $A,B,M$ sont alignés si et seulement si $\frac{z-a}{z-b}\in ℝ$

Transformations usuelles

• L'application $\begin{array}{c}{}_{ℂ\to ℂ}\\ {}^{z\to z+b}\end{array}$ se traduit géométriquement par la translation de vecteur $Re(b)\overrightarrow{i}+Im(b)\overrightarrow{j}$
• L'application $\begin{array}{c}{}_{ℂ\to ℂ}\\ {}^{z\to \overline{z}}\end{array}$ se traduit géométriquement par la symétrie d'axe (Ox).
• L'application $\begin{array}{c}{}_{ℂ\to ℂ}\\ {}^{z\to az}\end{array}$ se traduit géométriquement par la transformation $M\to M^{\prime }$ avec : $\{\begin{array}{c}O{M}^{\prime }=|a|\cdot OM\\ (\overrightarrow{i},\overrightarrow{O{M}^{\prime }})=(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})+\arg (a)[2\pi ]\end{array}$
• L'application $\begin{array}{c}{}_{ℂ\to ℂ}\\ {}^{z\to az+b}\end{array}$ se traduit géométriquement par la transformation $M\to M^{\prime }$ où : $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }{M}^{\prime }}=|a|\cdot e^{i\arg (a)}\overrightarrow{\mathrm{\Omega }M}$ (où $\mathrm{\Omega }$ est l'unique point fixe d'affixe $\omega =\frac{b}{1-a}$)
  Cette transformation est appelée similitude directe de centre $M$, d'angle $\arg (a)$ et de rapport $|a|$.

Notion de disque

• Le disque ouvert de centre $a$ et de rayon $r$ est : $D(a,r)=\{z\in ℂ/|z-a|<r\}$
• Le disque fermé de centre $a$ et de rayon $r$ est : $D^{\prime }(a,r)=\{z\in ℂ/|z-a|⩽r\}$

Expression avancée du scalaire de deux vecteurs

• Soient $\overrightarrow{u}(a)$ et $\overrightarrow{v}(b)$ des vecteurs de $P$, alors on a : $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=Re(a\overline{b})$
• Soient $A(a),B(b),M(z)$ des points de $P$, alors les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont orthogonaux si et seulement si : $Re((z-a)(\overline{z}-\overline{b}))=0$

Racines de l'unité

• L'ensemble des racines $n$^ièmes de l'unité forme un polygone régulier à $n$ côtés (racines cubiques : triangle ; racines 4Modèle:E : carré ; ...)