Nombre entier naturel/Addition

Ajouter deux nombres entiers à plusieurs chiffres

Introduction

Pour faire l'addition de nombres à plusieurs chiffres, il faut maîtriser la notion d'unité, dizaine, centaine…

Addition sans retenue

Étudions tout d’abord un cas simple. Un cas plus complexe sera abordé dans la section suivante.

Prenons un exemple : l'objectif est de calculer $56+12$. Pour cela, on pose l'addition, c'est-à-dire qu'on écrit l'opération de manière à aligner le 6 avec le 2 et le 5 avec le 1 :

   56
 + 12
 ____

Le trait horizontal sépare l'opération du résultat. Il faut ensuite effectuer l'addition. Le chiffre des unités du résultat est la somme des chiffres des unités des deux termes soit 6+2 = 8. Le chiffre des unités est donc 8. On écrit :

   56
 + 12
 ____
    8

Ensuite, il faut calculer le chiffre des dizaines. Pour cela on additionne 5 et 1. On trouve 5+1 = 6. On écrit :

   56
 + 12
 ____
   68

On a donc $56+12=68$.

Cette méthode est valable avec des termes de plus de deux chiffres. Elle permet par exemple de calculer $48275318+30614361$.

   48275318
 + 30614361
 __________
   78889679

Ainsi, $48275318+30614361=78889679$.

Si un terme est plus court que l'autre, il suffit de rajouter suffisamment de zéros devant le terme le plus court pour qu’il ait la même taille que le plus long. Par exemple, si on veut effectuer $436+12$, on fait comme si on additionnait 436 et 012. On obtient alors, en posant l'addition, $436+12=448$.

Addition avec retenue

La section précédente présentait des exemples assez simples. En effet, les sommes des unités, des dizaines, des centaines… étaient toutes inférieures à 10.

• Que se passe-t-il si la somme des unités est supérieure à 10 ?
• Comment additionner 35 et 48 ?

Étudions cet exemple en détail.

On remarque que la somme des unités vaut 5+8 = 13. Or 13 est supérieur à 10. La première étape consiste à poser l'addition :

   35
 + 48
 ____

Ensuite, on calcule le chiffre des unités du résultat. Pour cela, on additionne 5 avec 8. On obtient 13. 13 peut être décomposé en 3 unités et 1 dizaine. Par conséquent, le chiffre des unités du résultat sera 3 et on utilise une retenue de 1. On dit qu'« on pose 3 et on retient 1 ». Pour ne pas oublier la retenue, on la note au-dessus des chiffres des dizaines :

   1 <-- retenue
   35
 + 48
 ____
    3

Pour calculer le chiffre des dizaines du résultat, on additionne les chiffres des dizaines des deux termes et la retenue. Ici, on a 3+4+1 = 7+1 = 8. Le chiffre des dizaines est 8.

On a donc $35+48=83$.

Étudions un deuxième exemple : $635+391$.

La première étape consiste à poser l'addition :

   635
 + 391
 _____

La deuxième étape consiste à calculer le chiffre des unités du résultat : 5+1 = 6. Le chiffre des unités du résultat est 6. On note :

   635
 + 391
 _____
     6

Ensuite, on calcule le chiffre des dizaines. On obtient : 3+9 = 12. On pose 2 et on retient 1. On écrit :

   1
   635
 + 391
 _____
    26

Ensuite, on calcule le chiffre des centaines : 6+3+1 = 9+1 = 10. On pose 0 et on retient 1. On écrit :

  1
   635
 + 391
 _____
   026

Le fait qu’il reste une retenue prouve qu’il y aura un chiffre des milliers. Pour le calculer, on ajoute un 0 devant 635 et 391. Le chiffre des milliers est alors 0+0+1 = 1. On écrit :

   635
 + 391
 _____
  1026

On a donc $635+391=1026$.

Ajouter plusieurs nombres

Pour additionner plusieurs nombres, la technique est identique. Par exemple, calculons $123+654+75$

La première étape consiste encore à poser l'addition :

   123
 + 654
 +  75
 _____

On commence ensuite par la colonne de droite. Le chiffre des unités de la somme sera 3+4+5 = 7+5 = 12. On pose 2 et on retient 1. On continue alors avec les dizaines et les centaines :

ligne des retenues :            1        11        11
ligne du premier nombre :      123       123       123
ligne du deuxième nombre :   + 654     + 654     + 654
ligne du troisième nombre :  +  75     +  75     +  75
                             _____     _____     _____
ligne du résultat :              2        52       852

On a donc $123+654+75=852$.

Prenons un deuxième exemple : $458+38+139$. Posons l'addition :

   458
 +  38
 + 139
 _____

On effectue alors l'addition comme d'habitude en ajoutant des zéros à la place des « trous ». On obtient :

    2      12      12   
   458     458     458  
 +  38   +  38   +  38  
 + 139   + 139   + 139  
 _____   _____   _____  
     5      35     635  

Pour le chiffre des unités, on a 8+8+9 = 16+9 = 25. On pose donc 5 et on retient 2. On obtient finalement $458+38+139=635$