Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Vitesses de libération

Première vitesse cosmique

Elle est déterminée par la relation

$\frac{v_1^2}{R}=\frac{GM}{R^2}$,

où :

• $R$ est le rayon de l'orbite, assimilé au rayon terrestre (Modèle:Unité, bien qu'en en réalité une orbite n'échappe aux frottements de l'atmosphère que si elle est à une altitude supérieure à Modèle:Unité),
• $M$ est la masse de la Terre (environ 6 × 10Modèle:Exp kg),
• $G$ est la constante de gravitation.

Cette relation signifie que la force de gravitation exercée par la Terre ($GMm/R^2$, m étant la masse de la fusée) est exactement compensée par la force centrifuge ($m{v}_1^2/R$) de la fusée quand celle-ci est en orbite circulaire.

La première vitesse cosmique vaut ainsi

$v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}$

soit environ

$v_1\simeq 7,9\mathrm{k}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}\simeq 28500\mathrm{k}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{h}}^{-1}$.

Deuxième vitesse cosmique

Le corps peut s'éloigner de la Terre lorsqu’il n'est plus dans un état lié, ce qui correspond au cas où l'énergie mécanique est nulle :

$E_m=0=\frac{1}{2}m{v}_2^2-G\frac{mM}{R}$

et donc :

$\frac{v_2^2}{2}=\frac{GM}{R}$

La deuxième vitesse cosmique vaut ainsi :

$v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2}{v}_1$

soit environ

$v_2\simeq 11,2\mathrm{k}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}\simeq 40300\mathrm{k}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{h}}^{-1}$.

À noter qu'ici, il n'y a pas d'ambiguité sur la quantité R qui correspond au rayon terrestre, puisque c’est de là qu'est lancée la fusée, contrairement à la première vitesse cosmique où la quantité R était censée représenter le rayon d'une orbite basse, légèrement supérieur (d'environ 3%) au rayon terrestre. La vitesse de libération augmente avec la compacité de l'objet, c'est-à-dire son rapport M/R. Par exemple, celle de Jupiter est de Modèle:Unité.

Troisième vitesse cosmique

Elle est déterminée de la même façon que la seconde vitesse cosmique, si ce n'est qu’il faut tenir compte de l'énergie potentielle de gravitation de la Terre et du Soleil, et du fait que la Terre est elle-même animée d'une certaine vitesse vModèle:Ind sur son orbite. Ainsi,

$\frac{(v_3+v_{\mathrm{T}}{)}^2}{2}=\frac{G{M}_{\odot }}{d}+\frac{GM}{R}$,

où :

• $d$ correspondant à la distance Terre-Soleil, soit une unité astronomique (environ 150 millions de kilomètres) et,
• $M_{\odot }$ correspond à la masse du Soleil.

Or la vitesse de la Terre sur son orbite correspond à la première vitesse cosmique du Soleil pour une distance d'une unité astronomique, soit

$v_{\mathrm{T}}=\sqrt{\frac{G{M}_{\odot }}{d}}$.

Par conséquent :

$v_3=\sqrt{\frac{2G{M}_{\odot }}{d}+\frac{2GM}{R}}-\sqrt{\frac{G{M}_{\odot }}{d}}$

L'application numérique donne alors

$v_3\simeq 13,8\mathrm{k}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}\simeq 49800\mathrm{k}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{h}}^{-1}$.

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