Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Obtention de la trajectoire

Méthode 1 : formules de Binet

En utilisant la seconde loi de Newton, on a dans le cas d'une force attractive :

$m\overrightarrow{a}=-K\cdot \frac{1}{r^2}\overrightarrow{e_r}$.

En insérant l’expression de l'accélération et en remplaçant 1/r par u, puis enfin en projetant selon e_r, on a :

$-m{C}^2{u}^2(\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u)=-\frac{K}{r^2}=-K{u}^2$, soit encore :

$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=+\frac{K}{m{C}^2}$.

La solution de cette équation différentielle est celle d'un oscillateur harmonique à laquelle on ajoute une solution particulière. On obtient :

$u(\theta )=\frac{K}{m{C}^2}+A\cos (\theta +\varphi )=\frac{K+Am{C}^2\cos (\theta +\varphi )}{m{C}^2}$.

En revenant à l’expression de r, on a :

$r(\theta )=\frac{m{C}^2}{K+Am{C}^2\cos (\theta +\varphi )}$

$r(\theta )=\frac{\frac{m{C}^2}{K}}{1+\frac{Am{C}^2}{K}\cos (\theta +\varphi )}$

On note :

$p=\frac{m{C}^2}{K}$ et $e=\frac{Am{C}^2}{K}$ et on choisit $\varphi =0$

Et donc :

C'est l’expression d'une conique en coordonnées polaires dont la nature exacte dépend des conditions initiales.