Monoïde/Composé d'une séquence

Dans la suite, E désigne un monoïde et sa loi de composition est notée sous forme multiplicative, c'est-à-dire que nous écrirons $xy$ pour désigner le composé de $x$ et $y$. L'élément neutre sera noté 1. Modèle:Clr

Composé d'une séquence (finie) d'éléments d'un monoïde

Définissons récursivement le composé (« produit » dans notre notation) $\prod _{i=1}^n{x}_i=x_1\dots x_n$ d'un n-uplet $(x_i{)}_{1\le i\le n}$ d'éléments de E pour tout entier naturel n ou plus généralement, le composé $\prod _{i\in I}{x}_i$ d'une séquence d'éléments de E, c'est-à-dire d'une famille $(x_i{)}_{i\in I}$ indexée par un ensemble fini totalement ordonné :

• le produit indexé par l'ensemble vide est égal à 1 ;
• si $\beta$ est le plus grand élément de $I$, $\prod _{i\in I}{x}_i=\left(\prod _{i\in I\setminus \{\beta \}}{x}_i\right)x_{\beta }$.

Pour les n-uplets, cette condition s'écrit :

$\prod _{i=1}^{n+1}{x}_i=\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)x_{n+1}$

ou encore :

$x_1\dots x_{n+1}=(x_1\dots x_n)x_{n+1}(1)$.

La « généralisation » des n-uplets aux séquences n'est qu'un artifice de notation — si deux séquences $(x_i{)}_{i\in I}$ et $(y_j{)}_{j\in J}$ sont équivalentes (c'est-à-dire s'il existe un isomorphisme $\sigma$ d'ensembles ordonnés de $I$ sur $J$ tel que, pour tout $i\in I$, $y_{\sigma (i)}=x_i$) alors leurs composés sont égaux, or toute séquence est canoniquement équivalente à un n-uplet — mais elle aide à formuler le théorème d'associativité suivant :

Un corollaire est que pour tout (n + 1)-uplet $(x_1,\dots ,x_{n+1})$ d'éléments de E,

$x_1\dots x_{n+1}=x_1(x_2\dots x_{n+1})(2)$.

Cette formule (2), ou la formule (1) précédente, est couramment présentée — jointe à la définition du produit du 0-uplet comme étant égal à 1 — comme définition de $x_1\dots x_n$ par récurrence sur n. Le corollaire permet de prouver l'équivalence de ces deux définitions, par récurrence sur le nombre de facteurs.

Si le monoïde E est commutatif, on peut définir le composé d'une famille finie d'éléments de E sans préciser un ordre sur l'index de cette famille, car on prouve que le composé, tel que défini ci-dessus, est alors indépendant de l'ordre choisi. Plus généralement, si E est un monoïde non forcément commutatif, si $(x_i{)}_{i\in I}$ est une famille d'éléments de E dont tous les éléments commutent l'un avec l'autre, le produit des éléments de cette famille ne dépend pas de l'ordre choisi. C'est le « théorème de commutativité ». Ce théorème revient à dire que si $(x_i{)}_{i\in I}$ est une famille finie d'éléments d'un monoïde qui commutent tous l'un avec l'autre, si $\sigma$ est une permutation de l’ensemble $I$, $\prod _{i\in I}{x}_i=\prod _{i\in I}{x}_{\sigma (i)}$. Plus généralement, si $(x_i{)}_{i\in I}$ est une famille finie d'éléments d'un monoïde qui commutent tous l'un avec l'autre, si $\sigma$ est une bijection d'un ensemble $J$ sur $I$, $\prod _{i\in I}{x}_i=\prod _{j\in J}{x}_{\sigma (j)}.$

Le lemme suivant est utilisé dans le chapitre « Produit direct et somme restreinte » du cours sur les groupes :