Ensemble (mathématiques)/Définitions

Ensembles

Définitions : ensemble, élément et notion d'appartenance

Modèle:Wikipédia Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble.

Soit $E$ un ensemble. Quand $a$ est un élément de $E$ , nous disons que $a$ est dans $E$ ou que $a$ appartient à $E$ et nous écrivons $a \in E$ , ce qui se lit « $a$ appartient à $E$ ». Quand, au contraire, $a$ n’est pas élément de $E$ , nous disons que $a$ n'appartient pas à $E$ et nous écrivons $a \in̸ E$ , ce qui se lit « $a$ n'appartient pas à $E$ ».

Définition/Notation : ensemble vide

Modèle:Wikipédia Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide ${}$ ou plus souvent $\emptyset$ .

Remarque: Retenons qu'une chose est un ensemble si nous pouvons dire si un objet quelconque est ou n’est pas élément de cette chose ; concernant l’ensemble vide, nous pouvons dire qu'aucun objet n'est élément de cette chose.

Exemples d'ensembles

Les entiers naturels $0, 1, 2, 3, . . .$ forment un ensemble qui se note $ℕ$ .
Les entiers relatifs $. . ., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, . . .$ forment un ensemble qui se note $ℤ$ .
Les nombres rationnels (de la forme $\frac{p}{q}$ où $p \in ℤ$ et $q \in ℕ^{*}$ ) forment un ensemble noté $ℚ$ .
Les points du plan forment un ensemble.

Définition d’un ensemble en extension et en compréhension

Modèle:Wikipédia Modèle:Wikipédia Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.

La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2.

L' ordre des éléments ne revêt aucune importance ; par exemple, {1, 2} = {2, 1}.
La répétition d'éléments entre les accolades ne modifie pas l'ensemble ; par exemple, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}.

Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : $ℕ$ = {0, 1, 2, 3, …}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5, … , 21}.

Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers relatifs pairs} désigne l’ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2. Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique P qui dépend de x. L'ensemble est alors constitué de tous les objets x pour lesquels la condition P est vraie. Cet ensemble se note {x | P(x)}. Par exemple, {x | x est un nombre réel} désigne l’ensemble $ℝ$ des nombres réels. Cette notation est appelée « notation de définition d’un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d’un ensemble en compréhension sont :

{x ∈ A | P(x)} désigne l’ensemble des x qui sont déjà éléments de A tels que la condition P soit vérifiée pour ces x. Par exemple, si $ℤ$ est l’ensemble des entiers relatifs, alors {x ∈ $ℤ$ | x est pair} est l’ensemble de tous les entiers relatifs pairs.
{F(x) | x ∈ A} désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les éléments de l’ensemble A dans la formule F. Par exemple, {2x | x ∈ $ℤ$ .} est encore l’ensemble de tous les entiers relatifs pairs.
{F(x) | P(x)} est la forme la plus générale de la définition en compréhension. Par exemple, {propriétaire de x | x est un chien} est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens.

Définition : égalité de deux ensembles

Modèle:Wikipédia Deux ensembles $E$ et $F$ sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. $E = F$ signifie donc : $\forall x (x \in E \Leftrightarrow x \in F)$ .