Matrice/Exercices/Produit matriciel

Produit matriciel : possible ou pas ?

On considère les quatre matrices :

$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 3& 0\\ 8& 5& 0& 6\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$

$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ 3& 3\\ 9& 5\end{array}\right)$

$C=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 3\\ 8& 5& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$D=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 5& 0\end{array}\right)$.

1. Quels sont les produits matriciels réalisables ? Modèle:Solution

2. Effectuez-les. Modèle:Solution

Matrice strictement triangulaire

Soit $A\in {\mathrm{M}}_n(K)$ une matrice strictement triangulaire supérieure, c'est-à-dire qui n'a que des zéros en dessous de la diagonale et sur la diagonale elle-même. Démontrer que $A^n=0$. Modèle:Solution Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}0& a& b\\ 0& 0& c\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ avec $a,b,c\in ℝ$.

1. Calculer $A^2$ et $A^3$.
2. En déduire la matrice inverse de ${\mathrm{I}}_3-A$.

Non-commutativité

On considère les deux matrices suivantes :

$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 3& -4& 1\\ 5& 2& 1& 0\\ 3& 1& -6& 7\\ 2& 4& 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}3& -1& -3& 7\\ 4& 0& 2& 1\\ 2& 3& 0& -5\\ 1& 6& 6& 1\end{array}\right)$.

Calculer $AB$ et $BA$. Que remarque-t-on ? Modèle:Solution Soient $A=\left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 1& 2\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}3& 9\\ 1& 1\end{array}\right)$. Calculez et comparez $A^2+2AB+B^2$ et $(A+B{)}^2$. Modèle:Solution

Diviseurs de zéro

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées de même taille. Montrer que si $AB=0$, les matrices $A$ et $B$ ne sont pas inversibles. Modèle:Solution

Calculs d'inverses

Par la méthode polynomiale

Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$. Calculer $A^2$ et vérifier que $A^2=A+2{\mathrm{I}}_3$. En déduire que $A$ est inversible et calculer son inverse. Modèle:Solution Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$. Calculer $A^2$ et vérifier que $A^2=2{\mathrm{I}}_3-A$. En déduire que $A$ est inversible et calculer son inverse. Modèle:Solution Soient $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ et $A\in {\mathrm{M}}_n$ une matrice nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe un entier $p\ge 1$ tel que $A^p=0$. Démontrer que la matrice ${\mathrm{I}}_n-A$ est inversible et déterminer son inverse. Modèle:Solution

Par résolution de système

En utilisant un système linéaire, inverser la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$. Modèle:Solution

Par la formule de Laplace

Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& a\end{array}\right)$ est-elle inversible ? Calculer dans ce cas son inverse. Modèle:Solution Calculer l'inverse de la matrice suivante en passant par le calcul de sa comatrice.

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& 1& 3\\ 1& 2& -2& 1\\ 3& 0& 2& 1\end{array}\right)$.

Par la méthode du pivot de Gauss

Modèle:Wikipédia Calculer, par la méthode du pivot de Gauss, l'inverse de

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 0& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$.

Liens externes

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