Matrice/Addition et soustraction

Tout comme on peut additionner des nombres ou des vecteurs, il est possible d'effectuer l'addition de deux matrices. Il s'agit d'une opération élémentaire et assez intuitive.

Somme de deux matrices

Modèle:Définition Plus explicitement : si

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right)$

et

$B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \cdots & b_{1,n}\\ b_{2,1}& b_{2,2}& \cdots & b_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m,1}& b_{m,2}& \cdots & b_{m,n}\end{array}\right)$

alors

$A+B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}+b_{1,1}& a_{1,2}+b_{1,2}& \cdots & a_{1,n}+b_{1,n}\\ a_{2,1}+b_{2,1}& a_{2,2}+b_{2,2}& \cdots & a_{2,n}+b_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}+b_{m,1}& a_{m,2}+b_{m,2}& \cdots & a_{m,n}+b_{m,n}\end{array}\right)$.

Structure de groupe

Les propriétés des trois notions ci-dessus sont résumées dans la proposition suivante : Modèle:Propriété

Cela signifie que :

• l'addition entre matrices de même taille est associative : $\mathrm{\forall }A,B,C\in {\mathrm{M}}_{m,n}\left(K\right)(A+B)+C=A+(B+C)$ ;
• elle est commutative $\mathrm{\forall }A,B\in {\mathrm{M}}_{m,n}\left(K\right)A+B=B+A$ ;
• $\mathrm{\forall }A\in {\mathrm{M}}_{m,n}\left(K\right)A+{\mathrm{𝟎}}_{{\mathrm{M}}_{m,n}\left(K\right)}=A$ et $A+(-A)=0_{{\mathrm{M}}_{m,n}\left(K\right)}$.

Ces propriétés découlent directement du fait que $(K,+)$ est un groupe abélien.

Remarques

• Il existe une autre « somme » envisageable pour les matrices, appelée « somme directe ». Elle a un sens dans la théorie des espaces vectoriels, et nous ne l'aborderons pas ici.
• Si les matrices considérées n'ont qu'une seule ligne et une seule colonne (ce sont des nombres), on retrouve ce que l’on sait des nombres concernant leur addition, leur soustraction et le zéro.
• Si les matrices considérées n'ont qu'une colonne (ce sont des vecteurs), on retrouve ce que l’on sait des vecteurs concernant l'addition, la soustraction et le vecteur nul.

Les matrices peuvent donc être vues comme une « généralisation » des vecteurs.