Mathématiques en terminale générale/Devoir/Suites, barycentre et produit scalaire

— Ⅰ —

$(u_{n})$ est la suite définie par :

${\begin{matrix} u_{0} = 0 \\ u_{n} = u_{n - 1} + n (- 1)^{n + 1} \end{matrix}$

pour tout naturel n non nul.

On définit alors les suites $(v_{n})$ et $(w_{n})$ respectivement par :

${\begin{matrix} v_{n} = u_{2 n} \\ w_{n} = u_{2 n + 1} \end{matrix}$

pour tout naturel n.

1° Prouvez que $(v_{n})$ et $(w_{n})$ sont des suites arithmétiques et que $(u_{n})$ n'est pas arithmétique.

Exprimez

(v_{n})

et

(w_{n})

en fonction de n.

2° Exprimez $(u_{2 n - 1})$ en fonction de $(u_{2 n})$

3° On note (E) l'ensemble des points $A_{n}$ dont les coordonnées dans un repère orthonormal choisi sont $(n; u_{n}), n \in ℕ$ .

a) Montrez que (E) est inclus dans la réunion de deux droites d et d'.

Donnez les équations de d et d'.

b) Déterminez l’ensemble

𝒞

des points

M

du plan tels que :

(\vec{M A_{0}} + \vec{M A_{1}} + \vec{M A_{2}}) . (\vec{M A_{3}} + \vec{M A_{4}} + \vec{M A_{5}}) = 0

.

— Ⅱ —

$f$ est la fonction définie par :

$f (x) = \frac{1}{4} (1 - (2 x + 1) \cos π x)$

et $𝒞^{'}$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormal choisi au 3° de la première partie.

1° Montrez que l’ensemble (E) est inclus dans $𝒞^{'}$ .

Quel est, en tout point

A_{n}

de (E), la tangente à

𝒞^{'}

?

2° Montrez que pour tout réel $x ⩾ 0, - \frac{1}{2} x ⩽ f (x) ⩽ \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ .

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