Mathématiques en terminale générale/Devoir/Polynômes, logarithmes, intégrales et suites

Modèle:Clr 1°  Pour tout naturel $n⩾2$, on note $Q_{n-2}$ la fonction polynôme définie sur $ℝ$ par :

$Q_{n-2}(t)=1-t+t^2-t^3+\cdots +(-1{)}^{n-2}{t}^{n-2}$.

a)  Montrez que pour tout réel $t\ne -1$.

$Q_{n-2}(t)=\frac{1-(-t{)}^{n-1}{t}^{n-1}}{1+t}$

b)  Déduisez-en que pour tout réel $t\ne -1$:

$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\cdots +(-1{)}^{n-2}{t}^{n-2}+(-1{)}^{n-1}\frac{t^{n-1}}{1+t}$

c)  Déduire de la question précédente, par intégration, que pour tout $x\in [0;1]$ :

$\ln (1+x)=P_{n-1}(x)+(-1{)}^{n-1}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^{n-1}}{1+t}\mathrm{d}t$ [A]

où l'on a posé $P_{n-1}(x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots +(-1{)}^{n-2}\frac{x^{n-1}}{n-1}$

2°  On note $f$ la fonction définie sur $]0;1]$ par $f(0)=1$ et $f(x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ lorsque $x\ne 0$.

a)  Montrez que pour tout réel $x>0,x-\ln (1+x)>0$, et déduisez-en que pour tout $x$ dans $[0;1],f(x)⩽1$.

b)  Montrez que pour tout naturel $n$ non nul,

$0⩽\underset{0}{\overset{\frac{1}{n}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x⩽\frac{1}{n}$,

et déduisez-en que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\underset{0}{\overset{\frac{1}{n}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x)=0$

c)  Montrez que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\underset{\frac{1}{n}}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

Retrouvez ce résultat en utilisant une primitive $F$ de $f$.

(Il est inutile de calculer $F$.)

3°  a)  Montrez que pour tout $x$ dans $[0;1]$,

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^{n-1}}{1+t}\mathrm{d}t⩽\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{n-1}\mathrm{d}t,(n⩾2)$,

puis déduisez-en que $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^{n-1}}{1+t}\mathrm{d}t⩽\frac{1}{n}$.

b)  En utilisant la relation [A] de la première question, montrez que pour tout $x$ dans $]0;1]$,

$-\frac{1}{nx}⩽f(x)-\frac{P_{n-1}(x)}{x}⩽\frac{1}{nx}$.

c)  Par intégration, montrez que :

$(\underset{\frac{1}{n}}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x)+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{n}+S_n\left(\frac{1}{n}\right)⩽S_n(1)⩽(\underset{\frac{1}{n}}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x)-\frac{1}{n}\ln \frac{1}{n}+S_n\left(\frac{1}{n}\right)$ [B],

dans laquelle on a posé :

$S_n(x)=x-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^3}{3^2}-\cdots +(-1{)}^{n-2}\frac{x^{n-1}}{(n-1{)}^2}(n⩾2)$.

d)  Montrez que pour tout naturel $p$ et tout $x$ dans $[0;1]$,

$\frac{x^p}{p^2}⩾\frac{x^{p+1}}{(p+1{)}^2}$

Déduisez-en que pour tout $n⩾2$, tout $x$ dans $[0;1]$,

$S_n(x)⩾0$.

e)  Montrez que $S_n(x)⩽x$, et donc que $0⩽S_n(x)⩽x$.

f)  Calculez $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n\left(\frac{1}{n}\right)$, puis déduisez-en que que :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n(1)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

4°  a)  En regroupant convenablement les termes de la somme :

$S_n(1)=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\cdots +(-1{)}^{n-2}\frac{1}{(n-1{)}^2}$,

Montrez que pour tout $n⩾5$:

$1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}⩽S_n(1)⩽1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}$.

b)  Déduisez-en un encadrement de $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

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