Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, suites et intégrales

— Ⅰ —

La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier $n⩾1$, par :

$u_n=\sum _{k=0}^{2n-1}\frac{(-1{)}^k}{k+1}=1-\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}$.

$f$ est la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f(x)=\sum _{k=0}^{2n-1}(-1{)}^k{x}^k=1-x+\cdots +x^{2n-2}-x^{2n-1}$.

1°  Montrez que $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=u_n$.

2°  Vérifiez que lorsque $x\ne -1,f(x)+\frac{x^{2n}}{1+x}=\frac{1}{1+x}$.

3°  Déduisez-en que $u_n+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2n}}{1+x}\mathrm{d}x=\ln 2$.

4°  Montrez que $0⩽\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2n}}{1+x}\mathrm{d}x⩽\frac{1}{2n+1}$.

et déduisez-en $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2n}}{1+x}\mathrm{d}x$.

5°  Calculez la limite de $(u_n)$.

— Ⅱ —

$F,G,H,$ sont les fonctions définies sur $[0;1]$ par :

$F(x)=\ln (1+x),G(x)=x-F(x),H(x)=F(x)-x+x^2$.

1°  Montrez que pour tout $x$ de $[0;1],x-x^2⩽F(x)⩽x$.

2°  Montrez que pour tout $k⩾0$, tout entier $n⩾1$,

$\frac{1}{n+k}(1-\frac{1}{n})⩽F\left(\frac{1}{n+k}\right)⩽\frac{1}{n+k}$

3°  $(v_n)$ et $(a_n)$ sont les suites définies par :

$v_n=F\left(\frac{1}{n}\right)+F\left(\frac{1}{n+1}\right)+\cdots +F\left(\frac{1}{2n}\right)$ pour tout entier.

$n⩾1$ et $a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots +\frac{1}{2n}$ pour tout entier $n⩾1$.

Montrez que pour tout entier $n⩾1,(1-\frac{1}{n})a_n⩽v_n⩽a_n$.

4°  $(b_n)$ est la suite définie pour tout entier $n⩾1$ par :

$b_n=a_n-\frac{1}{n}$.

Calculer $b_n-b_{n-1}$ lorsque $n⩾2$, puis comparez $b_n$ et $u_n$ lorsque $n⩾1$.

5°  Calculez la limite de la suite $(v_n)$

— Ⅲ —

Dans cette partie, on admettra que pour tout $x⩾0$, on a :

$x-\frac{x^3}{6}⩽\sin x⩽x$.

$(w_n)$ est la suite définie pour tout entier $n⩾1$ par :

$w_n=\sin \frac{1}{n}+\sin \frac{1}{1+n}+\cdots +\sin \frac{1}{2n}$.

En utilisant un encadrement de la fonction sinus par des fonctions polynômes, calculez la limite de la suite $(w_n)$.

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