Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, intégrales et suites

Modèle:Clr $f$ est la fonction définie par :

$f(x)=\frac{1}{x}+\ln \left(\frac{x}{x+1}\right)$

— Ⅰ —

1°  a)  Prouvez que $f$ est définie sur l'intervalle $]0;+\mathrm{\infty }[$.

b)  Étudiez la limite de $f$ en 0.

c)  Étudiez la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }$.

2°  Étudiez le sens de variation de $f$, puis tracez sa courbe dans un repère orthonormal (unité graphique : Modèle:Unité).

3°  $k$ est un réel strictement positif.

Calculez $\underset{1}{\overset{k}{\int }}\ln \left(\frac{x}{x+1}\right)\mathrm{d}x$, puis $\underset{1}{\overset{k}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

— Ⅱ —

Dans cette partie, $m$ est un réel strictement positif.

1°  Montrez que :

$\frac{1}{m+1}⩽\underset{m}{\overset{m+1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x}⩽\frac{1}{m}$

2°  Montrez que :

$\underset{m}{\overset{m+1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x}=\frac{1}{m}-f(m)$,

et déduisez-en que :

$0⩽f(m)⩽\frac{1}{m(m+1)}$.

— Ⅲ —

1°  Montrez qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x$ :

$x\ne 0,x\ne -1,\frac{1}{x(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}$.

2°  Pour tout naturel $n⩾1$, on pose :

$S_n=\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots +\frac{1}{2n(2n+1)}$.

a)  En utilisant la question 1°, simplifiez l'expression de $S_n$.

b)  Montrez que la suite $(S_n)$ est convergente et précisez sa limite.

3°  a)  Montrer que :

$0⩽f(n)+f(n+1)+\cdots +f(2n)⩽S_n$

b)  Trouvez la limite de la suite $(u_n)$ définie par :

$u_n=f(n)+f(n+1)+\cdots +f(2n)$

4°  $v_n$ est la suite définie par :

$v_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots +\frac{1}{2n}$.

a)  Vérifier que :

$f(n)+f(n+1)+\cdots +f(2n)=v_n-\ln 2-\ln (1+\frac{1}{2n})$

b)  Déduisez-en que $(v_n)$ est convergente et précisez sa limite.

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