Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles et suites définies par récurrence

— Ⅰ —

$f$ est la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f(x)=e^x-x-3$

On note $𝒞$ sa courbe représentative.

1°  Étudiez la fonction $f$. Précisez, s'il en existe, les asymptotes à $𝒞$ et la position de $𝒞$ par rapport à ses asymptotes.

2°  Montrez que l'équation $f(x)=0$ a une solution et une seule dans l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$. On désigne par $l$ cette solution.

Encadrez $l$ par deux entiers.

— Ⅱ —

$g$ est la fonction définie par :

$g(x)=\ln (x+3)$

1°  Étudiez la fonction $g$ et tracez sa courbe représentative $\mathrm{\Gamma }$.

2°  a)  Montrez que l'équation $g(x)=x$ admet deux solutions, l'une $\alpha$ dans $]-3;-2[$, l'autre $\beta$ dans $]0;+\mathrm{\infty }[$.

b)  Comparez $\beta$ et $l$.

c)  Comparez $g(x)$ et $x$; discutez.

3°  $x_1$ et $x_2$ sont deux réels tels que $\alpha <x_1<\beta <x_2$.

Démontrez que $\alpha <g(x_1)<\beta <g(x_2)$.

4°  a)  Vérifiez qu'il existe bien une suite $(u_n)$ telle que :

$\{\begin{array}{c}{u}_0=1\\ u_{n+1}=\ln (u_n+3)\end{array}$

pour tout naturel $n$.

Étudiez le sens de variation de cette suite.

b)  Vérifiez qu'il existe bien une suite $v_n$ telle que :

$\{\begin{array}{c}{v}_0=2\\ v_{n+1}=\ln (v_n+3)\end{array}$

pour tout naturel $n$.

Étudiez le sens de variation de cette suite.

c)  Démontrez que pout tout naturel $n,1⩽u_n<\beta <v_n⩽2$.

d)  Démontrez que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1;2]$,

$\frac{1}{5}⩽g^{\prime }(x)⩽\frac{1}{4}$

Déduisez-en que pour tout naturel $n$,

$0<g(v_n)-g(u_n)⩽\frac{1}{4}(v_n-u_n)$,

puis que $0<v_n-u_n⩽{\left(\frac{1}{4}\right)}^n$

e)  Trouvez un entier $n$ tel que $u_n$ soit une valeur approchée de $l$ à $10^{-2}$ près.

Calculez alors $u_n$ et une valeur approchée de $l$.

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