Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles, suites et intégrales

— Ⅰ —

$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $I=]0;+\mathrm{\infty }[$ par :

$f(x)=\ln (1+\frac{1}{x})-\frac{1}{1+x}$

1°  Étudiez la fonction $f$.

2°  Déduisez-en que pour tout réel $t>1$,

$\underset{1}{\overset{t}{\int }}x\ln (1+\frac{1}{x})\mathrm{d}x⩾\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{x}{1+x}\mathrm{d}x[1]$

3°  $g$ est la fonction définie sur $I$ par

$g(x)=x\ln (1+\frac{1}{x})$.

a)  Calculez $g^{\prime }(x)$ et déduisez-en une primitive de $f$ sur $I$.

b)  Calculez l'aire $𝒜$ du domaine limité par la courbe représentant $f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=\alpha ,x=\beta ,0<\alpha <\beta$.

4°  Pour tout naturel $n⩾1$, on pose :

$S_n=1\ln (1+\frac{1}{1})+2\ln (1+\frac{1}{2})+\cdots +n\ln (1+\frac{1}{n})$.

Montrez que pour tout $n⩾1$,

$S_n⩾\underset{1}{\overset{n}{\int }}x\ln (1+\frac{1}{x})\mathrm{d}x[2]$

— Ⅱ —

1°  Montrez que pour tout $a>0,\ln a⩽a-1$

2°  On donne $n$ réels strictement positifs $x_1,x_2,\cdots ,x_n$.

Montrer que :

$\frac{1}{n}(\ln x_1+\ln x_2+\cdots +\ln x_n)⩽\ln \left(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\right)[3]$.

3°  Montrez que l'intégrale $[3]$ est équivalente à :

$x_1{x}_2\cdots x_n⩽{\left(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\right)}^n$

— Ⅲ —

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont les suites respectivement définies par :

$u_n={(1+\frac{1}{n})}^n{v}_n=\frac{u_1+u_2+\cdots +u_n}{n}n⩾1$.

1°  Montrez que les suites $(\ln u_n)$ et $(u_n)$ sont croissantes, convergentes, et que leurs limites respectives sont 1 et e.

Déduisez-en que pour tout naturel $n⩾1,v_n⩽e$.

2°  En utilisant les inégalités $[1],[2]$ et $[3],$ montrez que :

pour tout $n⩾1,\ln (v_n)⩾\frac{1}{n}\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{x}{1+x}\mathrm{d}x$.

3°  Calculez l'intégrale :

$w_n=\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{x}{1+x}\mathrm{d}x$.

4°  Montrez que pour tout $n⩾1,\frac{1}{n}{w}_n⩽\ln v_n⩽1$, puis déduisez-en que $(v_n)$ est convergente et donnez sa limite.

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