Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithme et fonction définie par une intégrale

— Ⅰ —

$f$ est la fonction définie par : $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x}{x-\ln x},& \text{si }x\ne 0\\ 0,& \text{si }x=0\end{array}$.

1°  Montrez que $f$ est définie sur l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$ et que $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)=0$.

2°  Étudiez la fonction $f$, tracez la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal. Précisez la tangente à la courbe au point O, origine du repère.

— Ⅱ —

Le but de cette partie est d'étudier la primitive de $f$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ qui s'annule en 1. On note $F$ cette primitive.

1°  Écrivez $F(x)$ sous forme d'une intégrale.

2°  Déterminez le signe de $F(x)$ selon les valeurs de $x$.

3°  Étudiez le sens de variation de $F$.

4°  Étudiez la limite de $F$ en zéro.

a)  Justifiez que $\underset{x\to 0}{\lim }F(x)=F(0)$

b)  Justifiez le résultat suivant : pour tout $t$ de $]0;1],f(t)⩽t$.

c)  Déduisez-en un encadrement de $F$ sur $]0;1]$.

d)  Montrez alors que $F(0)$ est compris entre $-\frac{1}{2}$ et $0$.

5°  Étude de la limite de $F$ en $+\mathrm{\infty }$.

Montrez que pour tout $x⩾1,F(x)⩾x$, et déduisez-en la limite de $F$ en $+\mathrm{\infty }$.

6°  Le bur de cette question est d'encadrer la fonction $F$ par deux fonctions usuelles sur $[1;1]$

a)  Calculez $\underset{1}{\overset{x}{\int }}(\ln t+1)\mathrm{d}t$ lorsque $x>0$.

Montrez que pour tout $t>1,\frac{t}{t-\ln t}⩽1+\ln t$.

Déduisez-en que pour tout $x⩾1,F(x)⩽x\ln x$.

b)  Calculez $\underset{1}{\overset{x}{\int }}(1+\frac{\ln t}{t})\mathrm{d}t$ lorsque $x>0$.

Montrez que pour tout $x⩾1,x+\frac{1}{2}(\ln x{)}^2-1⩽F(x)$.

c)  On note $a(x)$ l'amplitude de cet encadrement de $F(x)$.

Étudiez les variations de $a(x)$ et commentez.

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