Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithme, fonctions puissances, suites et intégrales

— Ⅰ —

1°  Justifiez le résultat suivant :

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$.

2°  

a)  Déduisez-en que:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }[x\ln (1+\frac{1}{x})]=1$.

b)  Étudiez la limite en $+\mathrm{\infty }$ de la fonction $x\mapsto {(1+\frac{1}{x})}^x$.

— Ⅱ —

Pour tout naturel $n$, on note $f_n$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f_n(x)=x^n(1-x)$.

1°  a)  Étudiez le sens de variation de $f_n$.

b)  Prouvez que selon la parité de $n$, l'équation $f_n(x)=1$, ou bien a une solution et une seule dans $ℝ$, ou bien n'a pas de solution.

2°  Montrez que, sauf pour certaines valeurs particulières de $n$, les courbes représentatives des fonctions $f_n$ ont deux points communs et ont même tangente en chacun de ces points.

— Ⅲ —

On note $g_n$ la restriction de $f_n$ à l'intervalle $[0;1]$.

Ainsi, pour tout $x$ de $[0;1],g_n(x)=x^n(1-x)$

On note ${𝒞}_n$ la courbe représentative de $g_n$ relativement à un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

1°  Montrez que, sauf pour une valeur de $n,g_n$ possède un maximum $M_n=\left(\frac{1}{n+1}\right)\frac{1}{{(1+\frac{1}{n})}^n}$

2°  Tracez ${𝒞}_0,{𝒞}_1,{𝒞}_2,$ dans le repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. Donnez l'allure de ${𝒞}_n$ pour $n>2$.

Placez ${𝒞}_{n+1}$ par rapport à ${𝒞}_n$ (position relative des points de même abscisse et des deux points représentatifs du maximum).

3°  Calculez successivement :

a)  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{M}_n$.

b)  $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{g}_n(x)$.

c)  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n$.

Pouvait-on prévoir ce dernier résultat à partit d'un encadrement de $g_n$ ?

4°  Pour tout $x$ de $[0;1]$ et pour tout naturel $n$, on pose :

$S_n(x)=g_0(x)+g_1(x)+\cdots +g_n(x)=\sum _{i=0}^n{g}_i(x)$

et $J_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{S}_n(x)$.

a)  Calculez $S_n(x)$, puis :

• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n(x)$
• $J_n$
• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{J}_n$

b)  Exprimer $J_n$ en fonction de $I_0,I_1,\cdots ,I_n$.

Déduisez-en la valeur de la somme :

$s_n=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{(n+1)(n+2)}$.

Calculez $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n$.

c)  Comparez $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{1}{\int }}{S}_n(x)\mathrm{d}x$ et $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n(x))\mathrm{d}x$.

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