Mathématiques en terminale générale/Devoir/Fonctions puissances, exponentielles, intégrales et suites

Modèle:Clr On note $f_0$ la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $f_0(x)=e^{-x}$, et pour tout réel $\alpha >0$, on note $f_{\alpha }$ la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $f_{\alpha }(x)=x^{\alpha }{e}^{-x}$ lorsque $x>0$ et $f_{\alpha }(0)=0$.

On note ${𝒞}_{\alpha }$ avec $\alpha ⩾0$, la courbe représentant $f_{\alpha }$ dans un repère orthonormal choisi (unité graphique de longueur : Modèle:Unité).

— Ⅰ —

1°  Étudiez les fonctions $f_0$ et $f_1$, puis tracez ${𝒞}_0$ et ${𝒞}_1$ après avoir précisé la position de ${𝒞}_0$ par rapport à ${𝒞}_1$.

2°  a)  On suppose $\alpha >0$ et $\alpha \ne 1$. Montrez que :

$\underset{x\to 0}{\lim }{f}_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(0)=0$

et que $f_{\alpha }$ est dérivable en zéro lorsque $\alpha <1$.

Dans ce dernier cas, vérifiez que l’axe des ordonnées est tangent à ${𝒞}_{\alpha }$ à l'origine du repère.

b)  Étudiez les variations de $f_{\alpha }$.

3°  a)  On suppose $\alpha >0$. Précisez les positions relatives des courbes ${𝒞}_0$ et ${𝒞}_{\alpha }$ restreintes à $]0;+\mathrm{\infty }[$.

b)  $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels tels que $0<\alpha <\beta$.

Précisez les positions relatives des courbes ${𝒞}_{\alpha }$ et ${𝒞}_{\beta }$ restreintes à $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Prouvez que toutes les courbes ${𝒞}_{\alpha }$ passent par un même point et donnez une équation de la tangente à ${𝒞}_{\alpha }$ en ce point.

4°  Représentez les courbes ${𝒞}_{\frac{1}{2}}$ et ${𝒞}_e$.

— Ⅱ —

Dans cette partie, on suppose que $\alpha$ est un entier naturel, on pose alors $\alpha =n$.

On note $F_n$ la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par :

$F_n=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{f}_n(t)\mathrm{d}t$

1°  Quelle est la fonction dérivée de $F_n$ ?

2°  Calculez $F_0(x)$ et $F_1(x)$, puis étudiez la limite en $+\mathrm{\infty }$ des fonctions $F_0$ et $F_1$.

3°  Montrez que :

$F_n(x)=-x^n{e}^{-x}+n{F}_{n-1}(x)$ pour tout $n⩾1$, tout $x⩾0$.

4°  a)  Montrez par récurrence que chaque fonction $F_n$ a une limite réelle en $+\mathrm{\infty }$. On notera $u_n$ cette limite.

b)  Quelle relation existe-t-il entre $u_n$ et $u_{n-1}$ ? Déduisez-en la valeur de $u_n$ pour tout n.

5°  a)  Étudiez les variations de $F_n$ lorsque $n\ne 0$.

b)  Donnez l'allure de la courbe représentative $F_3$.

6°  a)  Montrez que pour tout $n⩾1,\frac{F_n(1)}{n!}=-\frac{e^{-1}}{n!}+\frac{F_{n-1}(1)}{(n-1)!}$.

b)  Déduisez-en que pour tout n :

$\frac{F_n(1)}{n!}=1-e^{-1}\left(\sum _{p=0}^n\frac{1}{p!}\right)$.

c)  En utilisant une majoration de $f_n(t)$ sur l'intervalle $[0;1]$, montrez que pour tout $n⩾1,0⩽F_n(1)⩽e^{-1}$.

d)  Déduisez de b) et c) la limite de la suite $(s_n)$ définie par $s_n=\sum _{p=0}^n\frac{1}{p!}$.

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