Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, approximations et intégrales

— Ⅰ —

$h$ est une fonction dérivable sur $I=[0;+\mathrm{\infty }[$ et positive.

$H$ est la primitive de $h$ sur $I$ telle que $H(0)=0$.

1°  Montrez que $H$ est positive sur $I$.

2°  En utilisant plusieurs fois la question précédente, et sachant que pour tout réel $x⩾0,e^x-1⩾0$, montrez -que :

pour tout réel $x⩾0,e^x⩾\frac{x^4}{24}$

— Ⅱ —

$f$ est la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f(x)=1-x^2{e}^{-x}$.

1°  Étudiez la fonction $f$.

2°  Déduisez de cette étude que l'équation $f(x)=0$ a une solution et une seule, noté $\alpha$. Donnez une valeur approchée de $\alpha$ à 10^-2 près.

3°  L'unité de longueur choisie est Modèle:Unité; tracez la courbe $𝒞$ représentative de $f$ dans un repère orthonormal.

Précisez, s'il y a lieu, les tangentes horizontales.

4°  $\lambda$ est un réel strictement positif.

On note D le domaine limité par la droite d'équation $y=1$, la courbe $𝒞$, les droites d'équations $x=\lambda$, et $x=0$.

On note $A(\lambda )$ l'aire, en cm², du domaine D.

a)  Montrez que :

$\frac{A(\lambda )}{4}=\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}{x}^2{e}^{-x}\mathrm{d}x$.

b)  On veut savoir s'il est possible de choisir $\lambda$ de façon à obtenir $A(\lambda )=125$.

• Sans calculer l'intégrale, montrez que :

$\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}{x}^2{e}^{-x}\mathrm{d}x⩽1,$ lorsque $\lambda ⩽1$

$\underset{1}{\overset{\lambda }{\int }}{x}^2{e}^{-x}\mathrm{d}x⩽24(1-\frac{1}{\lambda })⩽24,$ lorsque $\lambda ⩾1$.

• De ces inégalités, déduisez que $A(\lambda )=125$ cm² est impossible.

— Ⅲ —

1°  $f^{\prime }$ et $f^{″}$ désignent respectivement les dérivées première et seconde de $f$.

Vérifiez que pour tout réel $x$ :

$f^{″}(x)+2f^{\prime }(x)+f(x)=-2e^{-x}+1$.

2°  On note $F$ la primitive sur $ℝ$ de $f$ qui s'annule pour $x=0$.

Donnez la valeur explicite de $F(x)$ pour tout réel $x$.

3°  Écrivez $F(x)$ sous forme d'intégrale.

Retrouvez le résultat de la question précédente en calculant cette intégrale.

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