Mathématiques en terminale générale/Devoir/Complexes, fonctions racines, bijections et intégrales

On choisit pour unité de longueur Modèle:Unité, et on munit le plan d'un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Vous représenterez dans ce repère les courbes demandées.

— Ⅰ —

1°  On note E l'ensemble des complexes $z$ tels que $z-i\overline{z}\ne 0$ et on considère la fonction $f$ qui, à chaque élément de E, associe le complexe :

$f(z)=\frac{z+\overline{z}-i}{z-i\overline{z}}$

Déterminez l'ensemble E et représentez-le graphiquement.

Par la suite, si un complexe $z$ de E est représenté par un point M, on notera M' le point représentant $f(z)$.

2°  Résolvez dans $ℂ$ l'équation $f(z)=i$.

3°  $z$ est un complexe appartenant à E; Le point M qui le représente a pour coordonnées $(x;y)$. Exprimez en fonction de $x$ et $y$ les coordonnées du point M'.

4°  Déterminez et représentez graphiquement l'ensemble des complexes $z$ tels que $f(z)$ soit un imaginaire pur.

5°  $z=x+iy$ est un complexe de E.

Montrez que le module de $f(z)$ est égal à $\sqrt{2}$ si et seulement si $x$ et $y$ sont liés par la relation $4y^2-8xy-1=0$.

— Ⅱ —

Le but de cette partie est de représenter l'ensemble E' des complexes $z=x+iy$ tels que $f(z)$ ait pour module $\sqrt{2}$. C'est-à-dire aussi, d'après la fin de la première partie, l'ensemble des couples $(x;y)$ tels que $4y^2-8xy-1=0$ [1].

1°  Montrez que pour tout réel $x$, il existe deux réels $y_1$ et $y_2$ à déterminer tels que $(x;y_1)$ et $(x;y_2)$ vérifie la relation [1].

2°  $a$ et $b$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par :

$\{\begin{array}{c}a(x)=x+\frac{1}{2}\sqrt{4x^2+1}\\ b(x)=x-\frac{1}{2}\sqrt{4x^2+1}\end{array}$

On notera $𝒞$ la courbe représentative de $a$ et ${𝒞}^{\prime }$ la courbe représentative de $b$.

a)  Montrez que l'ensemble E' cherché est représenté par la réunion de $𝒞$ et ${𝒞}^{\prime }$.

b)  Montrez que l'origine O est centre de symétrie de E'.

3°  Étudiez la fonction $a$ et tracez sa courbe représentative.

Montrez que la droite d d'équation $y=2x$ est asymptote à $𝒞$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ et précisez la position de $𝒞$ par rapport à cette asymptote.

4°  Tracez la tangente à $𝒞$ au point d'interception de $𝒞$ avec l'axe des ordonnées.

5°  Représentez l'ensemble E'.

— Ⅲ —

On se propose de calculer en cm², l'aire $𝒜$ du domaine compris entre la courbe $𝒞$, les droites d'équation $x=0$, $x=1$, et l'axe des abscisses.

1°  Exprimez cette aire sous forme d'une intégrale.

2°  On note $a_1$ la restriction de $a$ à l'intervalle $I=[0;1]$.

a)  Pourquoi $a_1$ est-elle une bijection de $I$ sur l'intervalle $J=[\frac{1}{2};\frac{2+\sqrt{5}}{2}]$ ?

b)  Soit $h$ la fonction définie sur $J$ par $h(x)=\frac{4x^2-1}{8x}$

Vérifiez que pour tout $x$ de $J,a_1(h(x))=x$, et que pour tout $x$ de $I,h(a_1(x))=x$.

Comment qualifie-t-on $h$ par rapport à $a_1$, et $a_1$ par rapport à $h$ ?

Qu'en résulte-t-il pour les courbes $𝒞$ et ${𝒞}_h$ ?

3°  Tracez la courbe représentative de $h$.

4°  Calculez l'intégrale $\underset{\frac{1}{2}}{\overset{\frac{2+\sqrt{5}}{2}}{\int }}\frac{4x^2-1}{8x}\mathrm{d}x$ et interprétez-la graphiquement.

5°  Déduisez alors de ce qui précède l'aire $𝒜$ cherchée.

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