Mathématiques en terminale générale/Devoir/Équations fonctionnelles, dérivation et suites

— Ⅰ —

Le but de cette partie est de trouver toutes les fonctions $f:ℝ\to ℝ$ satisfaisant aux conditions $(C_1)$ suivantes :

• $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)$ ;
• pour tout réel $x,f(2x)=f(x)$.

1°  Vérifiez que les fonctions constantes satisfont bien aux conditions $(C_1)$.

2°  Nous allons montrer que seules les fonctions constantes vérifient les conditions $(C_1)$.

On suppose que $f$ satisfait aux conditions $(C_1)$.

a)  Montrez que pour tout réel $x$, tout naturel $n,f(x)=f\left(\frac{x}{2^n}\right)$.

b)  En supposant $x$ fixé, justifiez que la suite $(u_n)$ définie par :

$u_n=f\left(\frac{x}{2^n}\right)$

a pour limite $f(0)$.

c)  Déduisez-en que $f$ est constante.

— Ⅱ —

Le but de cette partie est de trouver toutes les fonctions $g:ℝ\to ℝ$ satisfaisant aux conditions $(C_2)$ suivantes :

• $g$ est dérivable en zéro ;
• pour tout réel $x,g(2x)=2g(x)$.

1°  Trouvez des fonctions simples qui satisfont aux conditions $(C_2)$.

2°  On suppose que $g$ satisfait aux conditions $(C_2)$.

a)  Montrez que $g(0)=0$.

b)  Nous allons ramener le problème à celui posé lors de la première partie.

On note $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{g(x)}{x}$ lorsque $x\ne 0$, et $f(0)=g^{\prime }(0)$.

Montrez que $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)$.

c)  Montrez que pour tout réel $x,f(2x)=f(x)$.

d)  Déduisez-en, en utilisant la première partie, que pour tout réel $x,g(x)=g^{\prime }(0)x$ (donc $g$ est une fonction linéaire).

e)  Déterminez l'ensemble de toutes les fonctions qui satisfont aux conditions $(C_2)$.