Mathématiques en MP/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre

Modèle:Devoir Pour $x>0$, on pose

$f(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^t}{x+t}\mathrm{d}t$.

— Ⅰ —

1. Montrer que $f$ est bien définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et que $f(0)$ est une intégrale divergente.
2. Montrer que $f$ est décroissante.
3. Montrer que
   $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{+}^{*}f(x)={\mathrm{e}}^{-x}\underset{x}{\overset{x+1}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^u}{u}\mathrm{d}u$.
4. On définit la fonction $h:{ℝ}_{+}^{*}\to ℝ$ par
   $h(x)=\underset{x}{\overset{x+1}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^u}{u}\mathrm{d}u$.
   Montrer que $h$ est dérivable et exprimer sa dérivée.
5. En déduire que $f$ est dérivable et que
   $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{+}^{*}{f}^{\prime }(x)=-f(x)+\frac{\mathrm{e}}{x+1}-\frac{1}{x}$.

— Ⅱ —

Dans les questions suivantes, on étudie le comportement de $f$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ puis au voisinage de $0$. Il est conseillé d'utiliser la formule $f(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^t}{x+t}\mathrm{d}t$.

1. Montrer que
   $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{+}^{*}\frac{1}{x+1}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t\le f(x)\le \frac{1}{x}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t$.
2. En déduire un équivalent de $f$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$.
3. Montrer que
   $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{+}^{*}f(x)=g(x)+\ln (x+1)-\ln x$,
   avec
   $g(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^t-1}{x+t}\mathrm{d}t$.
4. Montrer que $g$ est définie et continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.
5. Déduire des questions précédentes l'équivalent suivant en $0$ : $f(x){\sim }_0-\ln x$.