Métrique riemannienne

Sur une variété différentielle M de dimension n, une métrique riemannienne de classe $C^k$ est une collection de formes bilinéaires symétriques définies positives g_x sur chaque espace tangent $T_{x}M$ de sorte que, pour tous champs de vecteurs X et Y sur M de classe $C^k$, la fonction g(X,Y) soit de classe $C^k$.

Usuellement, l'espace cotangent de M est noté $T^{*}M$. Ses sections sont par définition les 1-formes différentielles de M. Le fibré $S^2{T}^{*}M$ est le fibré vectoriel de M dont la fibre en x est l'espace des formes bilinéaires symétriques sur T_xM. Une métrique riemannienne peut donc se définir comme une section globale de $S^2{T}^{*}M$, en tout point définie positive.

Dans une carte locale, une métrique riemannienne g s'écrit :

$g=\sum _{i,j=1}^k{g}_{ij}d{x}_i\otimes d{x}_j$

où $g_{ij}$ sont les coefficients d'une matrice symétrique définie positive.