Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Géométrie

Arc de cercle

Freinage d'un convoi ferroviaire

Le cahier des charges du constructeur impose un freinage du convoi roulant à Modèle:Unité de Modèle:Unité sur une voie horizontale et sèche.

Hypothèse: Lors du freinage, il y a roulement sans glissement des roues sur le rail.

Donnée

Diamètre de la roue : Modèle:Unité.

Question: Déterminer l'amplitude de rotation d'une roue pendant la phase de freinage, exprimée en nombre de tours et en radians.

Modèle:Clr Modèle:Solution

Enrouleur de câble

On désire enrouler un câble de Modèle:Unité sur un tambour de diamètre Modèle:Unité. Combien faut-il de tour de tambour, en considérant que le diamètre d'enroulement est toujours le même ? Quel angle en radians cela représente-t-il ?

Modèle:Solution

Vérin rotatif

Un vérin rotatif est basé sur un système pignon-crémaillère :

un piston entraîne le déplacement linéaire d'une crémaillère ;
la crémaillère entraîne la rotation du pignon.

Le pignon a un diamètre primitif de Modèle:Unité^[1]. Quelle doit être l'avance du piston pour que le pignon fasse une rotation de Modèle:Unité ?

Modèle:Clr

Modèle:Solution

Relations dans le triangle rectangle

Passerelle métallique

On veut construire une passerelle ayant la forme d’un parallélépipède rectangle (forme d’une « brique »), à partir d’un cadre rectangulaire de quatre poutres supporté par quatre poteaux, selon le plan indiqué sur la figure ci-contre.

On envisage de mettre des raidisseurs en diagonale des côtés. Il faut calculer la longueur des raidisseurs afin de commander les matériaux.

Déterminer les longueurs OA et BC.

Modèle:Clr

Modèle:Solution

Pompe à pistons axiaux

Une pompe à piston axiaux est utilisée pour les circuits hydrauliques, par exemple pour alimenter un vérin. Les pièces principales sont :

le plateau cyclique ;
les pistons, liés par une rotule avec le plateau cyclique ;
le barillet, comprenant des alésages^[2] dans lesquels coulissent les pistons (chambres).

Modèle:Clr

Pièces d'une pompe à pistons axiaux
Pièces en position

Le moteur entraîne le plateau cyclique et les pistons. Les pistons entraînent le barillet en rotation. Comme l'axe du barillet et du plateau cyclique font un angle, la base des pistons s'éloignent et se rapprochent du barillet. Ce mouvement d'aller-retour des pistons dans les alésages provoquent l'aspiration et le refoulement de l'huile.

L'amplitude L du mouvement dépend :

de l'angle θ que fait l'axe du plateau cyclique avec l'axe du barillet ;
de la distance r de l'axe de l'alésage avec l'axe du barillet.

Si la distance r vaut Modèle:Unité et que l'angle θ est de Modèle:Unité, calculer l'amplitude L ?

Modèle:Clr

Modèle:Boîte déroulante

Modèle:Solution

Foret étagé

Un outilleur doit affûter un foret étagé ; cet outil permet de faire un trou et un fraisurage^[3] dans la même opération. Le bureau d'étude lui a fourni les cotes fonctionnelles, c'est-à-dire les longueurs des parties cylindriques ; mais pour régler sa machine, l'outilleur a besoin des hauteurs des parties coniques, que l’on appelle a et b.

Pour résoudre ce problème, il faut considérer les demi-cônes : sur le plan, on a des triangles rectangles dont on connaît un des angles (la moitié de l'angle au sommet du cône).

Détermination de a

Pour la partie tronconique^[4], on a donc un triangle rectangle ABC rectangle en C, dont la longueur du côté AC est la différence des rayons des cylindres (c'est un transfert de cotes).

A C = \frac{D_{1} - D_{2}}{2}

.

Calculer AC, et en déduire a.

Détermination de b

En suivant la même démarche, déterminer DF, puis b.

Modèle:Clr

Modèle:Solution

Vecteurs

Approche graphique

Matériel requis :

règle graduée ;
équerre ;
rapporteur d'angle ;
calculatrice ;
crayon à papier et stylographe.

Personne dans un train

Note: Il s'agit de refaire, de manière légèrement différente, la construction vue en cours, si possible sans l'aide du professeur.

L’image ci-dessus représente une personne dans un train dans trois situations :

haut : Train (repère 1) à l’arrêt, la personne (repère 2) marche : ${\vec{v}}_{2 / 1}$ ;
milieu : Train rep. 1 en marche, personne rep. 2 immobile : ${\vec{v}}_{1 / 0}$ ;
bas : Train rep. 1 en marche, la personne rep. 2 marche : ${\vec{v}}_{2 / 0}$ ;

Il se passe une seconde (Modèle:Unité) entre l’image en traits pleins et l’image en pointillés.

Travail demandé

Pour chaque situation, tracer le vecteur vitesse (en m/s) de la personne.
Déterminer les caractéristiques des vecteurs vitesse et remplir le tableau ci-dessous.
Vérifier la composition des vitesses : ${\vec{v}}_{2 / 0} = {\vec{v}}_{2 / 1} + {\vec{v}}_{1 / 0}$ .

Caractéristiques des vecteurs vitesse
Nom	Direction	Sens	Norme
${\vec{v}}_{2 / 1}$	…	…	…
${\vec{v}}_{1 / 0}$	…	…	…
${\vec{v}}_{2 / 0}$	…	…	…

Modèle:Clr

Modèle:BDdébut

Caractéristiques des vecteurs vitesse
Nom	Direction	Sens	Norme
${\vec{v}}_{2 / 1}$	∠ 54°	↗	(Modèle:Unité)
${\vec{v}}_{1 / 0}$	—	→	(Modèle:Unité)
${\vec{v}}_{2 / 0}$	∠ 15°	↗	(Modèle:Unité)

Sur la figure, on trace le vecteur ${\vec{v}}_{2 / 0}$ à partir de la 3Modèle:E figure ; puis, on vérifie, en retraçant les vecteurs à partir du point O, que l’on a bien un triangle fermé.

Notons qu’il s'agit ici de projection de vecteur sur une vue en perspective. On a pour cette raison laissé la norme en millimètres mesurés. Les angles sont des angles apparents.

Modèle:BDfin

Chasse à l'arc

Un chasseur monté sur un char désire abattre un animal avec son arc. Les chevaux galopent à une vitesse de Modèle:Unité. Lorsque le chasseur tire, la flèche part à l'horizontale avec une vitesse initiale deModèle:Unité par rapport au chasseur. On s'intéresse à la vitesse au moment où la flèche quitte l'arc, on ne prend donc pas en compte le vent et le freinage par l'air.

Modèle:Clr

Travail demandé

Pour chacune des trois situations ci-contre, tracer les vecteurs vitesse :

${\vec{v}}_{1 / 0}$ du char rep. 1 par rapport au sol rep. 0 ;
${\vec{v}}_{2 / 1}$ de la flèche rep. 2 par rapport au char rep. 1 ;
${\vec{v}}_{2 / 0}$ de la flèche rep. 2 par rapport au sol rep. 0 ;

en appliquant la règle de composition des vitesses :

{\vec{v}}_{2 / 0} = {\vec{v}}_{2 / 1} + {\vec{v}}_{1 / 0}

.

Déterminer graphiquement les caractéristiques des vecteurs vitesse et remplir le tableau ci-dessous (les directions sont relevées au rapporteur d'angle, les longueurs à la règle graduée).

Caractéristiques des vecteurs vitesse
Nom	Direction	Sens	Norme
Cas 1 (haut)
${\vec{v}}_{1 / 0}$	…	…	…
${\vec{v}}_{2 / 1}$	…	…	…
${\vec{v}}_{2 / 0}$	…	…	…
Cas 2 (milieu)
Nom	Direction	Sens	Norme
${\vec{v}}_{1 / 0}$	…	…	…
${\vec{v}}_{2 / 1}$	…	…	…
${\vec{v}}_{2 / 0}$	…	…	…
Cas 3 (bas)
Nom	Direction	Sens	Norme
${\vec{v}}_{1 / 0}$	…	…	…
${\vec{v}}_{2 / 1}$	…	…	…
${\vec{v}}_{2 / 0}$	…	…	…

Modèle:Clr

Modèle:BDdébut

Caractéristiques des vecteurs vitesse
Nom	Direction	Sens	Norme
Cas 1 (haut)
${\vec{v}}_{1 / 0}$	—	→	Modèle:Unité
${\vec{v}}_{2 / 1}$	—	→	Modèle:Unité
${\vec{v}}_{2 / 0}$	—	→	Modèle:Unité
Cas 2 (milieu)
Nom	Direction	Sens	Norme
${\vec{v}}_{1 / 0}$	—	→	Modèle:Unité
${\vec{v}}_{2 / 1}$	∠ 30°	↗	Modèle:Unité
${\vec{v}}_{2 / 0}$	∠ 23°	↗	Modèle:Unité
Cas 3 (bas)
Nom	Direction	Sens	Norme
${\vec{v}}_{1 / 0}$	—	→	Modèle:Unité
${\vec{v}}_{2 / 1}$	\|	↑	Modèle:Unité
${\vec{v}}_{2 / 0}$	∠ 73°	↗	Modèle:Unité

On admet une erreur de ±1° sur la lecture de la direction du vecteur ${\vec{v}}_{2 / 1}$ dans le cas 2, et de ±2° pour le vecteur ${\vec{v}}_{2 / 0}$ (erreur de construction + lecture) dans tous les cas.

On admet une erreur de ±Modèle:Unité pour la longueur du vecteur ${\vec{v}}_{2 / 0}$ (erreur de tracé + lecture), donc une erreur de ±Modèle:Unité pour le résultat.

Modèle:BDfin

Poulie de tyrolienne

La poulie d'une tyrolienne rep. 0 est soumise à la traction de son câble de support rep. 1. Les caractéristiques de ces forces ${\vec{F}}_{1}$ et ${\vec{F}}_{2}$ sont indiquées ci-dessous.

Caractéristiques des forces
Nom	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
${\vec{F}}_{1}$	A	∠ 152°	↖	Modèle:Unité
${\vec{F}}_{2}$	B	∠ 28°	↗	Modèle:Unité

Travail demandé

Tracer la résultante des forces de traction, $\vec{R} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2}$ .
Déterminer l'échelle de représentation des vecteurs-force, et en déduire l'intensité de $\vec{R}$ .
Remplir le tableau ci-dessous.

Échelle des forces : Modèle:Unité pour …
Caractéristiques de la résultante
Nom	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
$\vec{R}$	I	…	…	…

Modèle:Clr

Modèle:BDdébut

Les vecteurs ${\vec{F}}_{1}$ et ${\vec{F}}_{2}$ sont représentés par une flèche de Modèle:Unité de long :

Modèle:Unité → Modèle:Unité

(règle de proportionnalité/produit en croix). La force résultante est représentée par une flèche de Modèle:Unité de long, soit

‖ \vec{R} ‖ = 17 \times 50 = 850 N

.

Échelle des forces : Modèle:Unité pour 50 N
Caractéristiques de la résultante
Nom	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
$\vec{R}$	I	\|	↑	Modèle:Unité

Modèle:BDfin

Approche analytique

Usinage d'un trou oblong

Un technicien d’usinage doit écrire un programme pour réaliser un trou oblong d’un point A à un point B (voir figure 1). Il faut pour cela qu’il détermine les vecteurs déplacement de son outil :

vecteur $\vec{O A} (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix})$ depuis l’origine pièce O jusqu’au point A ;
vecteur $\vec{A B} (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix})$ depuis le point A jusqu’au point B.

Le programme sera du type

... initialisation : paramètres de sécurité, appel de l’outil, conditions de coupe...
N60 G0 X x1 Y y1 déplacement au point A
N70 Z0 M8 descente de l’outil
N80 G1 X x2 Y y2 déplacement de A à B
...

Pour déterminer la durée de l’usinage, il faut aussi connaître la longueur $‖ \vec{A B} ‖$ .

Dans le repère (Oxy), déterminer les coordonnées des points O, A et B ;
Déterminer les composantes des vecteurs $\vec{O A}$ et $\vec{A B}$ ;
Déterminer la longueur du vecteur $‖ \vec{A B} ‖$ .

Aires et volumes

Pompe à pistons axiaux

Reprenons l'exemple de la pompe à pistons axiaux (voir ci-dessus). Cette pompe a trois pistons de diamètre Modèle:Unité. La cylindrée est la quantité de liquide pouvant être pompée lorsque le système effectue un tour complet.

Quel est le volume balayé par un piston pendant un tour ?
Quelle est la cylindrée de la pompe.

On exprimera le résultat en cmModèle:Exp.

Modèle:Solution

Notes

↑ le diamètre primitif correspond au point de contact entre les dents du pignon et de la crémaillère, à environ la moitié de la hauteur de la dent ; tout se passe comme si la roue dentée était un galet de ce diamètre, roulant sans glissement
↑ perçages calibrés
↑ le fraisurage est une cavité permettant de « noyer » la tête d'une vis, déviter que la vis ne dépasse de la surface
↑ tronconique : en cône tronqué, en tronc de cône, c'est-à-dire un cône dont la pointe a été coupée

Modèle:Bas de page

[1] ètre primitif correspond au point de contact entre les dents du pignon et de la crémaillère, à environ la moitié de la hauteur de la dent ; tout se passe comme si la roue dentée était un galet de ce diamètre, roulant sans glissement

[2] rçages calibrés

[3] raisurage est une cavité permettant de « noyer » la tête d'une vis, déviter que la vis ne dépasse de la surface

[4] tronconique : en cône tronqué, en tronc de cône, c'est-à-dire un cône dont la pointe a été coupée

[1]

[2]

[3]

[4]

Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Géométrie

Sommaire

Arc de cercle

Freinage d'un convoi ferroviaire

Enrouleur de câble

Vérin rotatif

Relations dans le triangle rectangle

Passerelle métallique

Pompe à pistons axiaux

Foret étagé

Vecteurs

Approche graphique

Personne dans un train

Chasse à l'arc

Poulie de tyrolienne

Approche analytique

Usinage d'un trou oblong

Aires et volumes

Pompe à pistons axiaux

Notes

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Freinage d'un convoi ferroviaire

Enrouleur de câble

Vérin rotatif

Relations dans le triangle rectangle

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Pompe à pistons axiaux

Foret étagé

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Pompe à pistons axiaux

Notes

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