Mécanique du solide/Solide indéformable et centre d'inertie

Répartition continue de matière, solide

Remarques :

• Le solide est homogène si $\rho (P)$ ne dépend pas de P.

On adoptera aussi des modèles de répartition continue de matière sur une surface, ou sur une ligne, selon les solides à étudier.

Masse et centre d'inertie

Masse

• Si le solide est homogène de volume V, alors $M={\rho }_0\times V$

Centre d'inertie

En introduisant l'origine O, on obtient facilement la formule suivante pour calculer G :

Exemples

Plaque triangulaire homogène

Calcul

On désire calculer le centre d'inertie d'une plaque triangulaire à répartition surfacique de masse homogène ${\sigma }_0$.

On se place dans un repère $(A,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ où :

$\overrightarrow{i}=\frac{\overrightarrow{AI}}{AI}$ et $\overrightarrow{j}=\frac{\overrightarrow{BC}}{BC}$.

On a alors :

$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{m}\iint {\sigma }_0\overrightarrow{AP}\mathrm{d}S$

On note $\theta =(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{BC})$. L'aire du triangle vaut :

$S=\frac{AI.BC.sin\theta }{2}$

de plus l'élément d'aire vaut :

$dS=dx.dy.sin\theta$

donc avec $m=S.{\sigma }_0$

on obtient :

$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI.BC.sin\theta .{\sigma }_0}\iint {\sigma }_0\overrightarrow{AP}\mathrm{d}xdysin\theta ,$

$\overrightarrow{AG}=\frac{2.{\sigma }_0.sin\theta }{AI.BC.sin\theta .{\sigma }_0}\iint \overrightarrow{AP}\mathrm{d}xdy$

$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI.BC}\iint (\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{j})\mathrm{d}xdy$

comme M est le milieu du segment $[NL]$, le second terme s'annule :

$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI.BC}\int (NL\times \overrightarrow{AM})\mathrm{d}x$

Or $NL=AM.\frac{BC}{AI}$ par proportionnalité :

$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI.BC}\int (AM.\frac{BC}{AI}\times \overrightarrow{AM})\mathrm{d}x$

en écrivant $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{i}$, on obtient :

$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{A{I}^2}\int (x^2\times \overrightarrow{i})\mathrm{d}x$

$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{A{I}^2}\times \frac{A{I}^3}{3}\times \overrightarrow{i}$

$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\times AI\overrightarrow{i}$

$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\times \overrightarrow{AI}$

Remarques

• Le centre de gravité d'une plaque triangulaire homogène est donc le même que l'isobarycentre des trois sommets du triangle.

Triangle à répartition linéique de masse sur les côtés

Dans ce cas le calcul intégral est inutile puisque le barycentre de chaque côté est son milieu affecté du poids correspondant à la longueur du côté. Le centre de gravité de ces trois points donne celui du triangle.

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