Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers

Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan

Schéma d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle $\stackrel{⌢}{AB}$ et par les deux rayons $\perp$ $CA$ et $CB$, $C$ étant le centre de l'arc de cercle de rayon $R$

Modèle:AlOn considère le quart de disque homogène $𝒟$ limité par le quart de cercle $\stackrel{⌢}{AB}$ et les deux rayons $CA$ et $CB$ respectivement $\perp$, avec $C$ centre du quart de cercle et $R$ le rayon de ce dernier, et appelant ${\sigma }_0$ la masse surfacique constante du quart de disque, on se propose

• de déterminer la position du C.D.I. $G$ du quart de disque $𝒟$ en définissant son vecteur position $\overrightarrow{CG}$ relativement au vecteur position $\overrightarrow{CM}$ du point courant $M$ du quart de disque d'une part et
• d'autre part de vérifier le résultat par utilisation du 2^nd théorème de Guldin relatif à une portion de surface .

Détermination de la position du centre d'inertie du quart de disque homogène et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin

Modèle:AlAyant choisi le centre $C$ de l'arc de cercle $\stackrel{⌢}{AB}$ limitant le quart de disque $𝒟$ comme origine de vecteur position, rappeler l'expression du vecteur position $\overrightarrow{CG}$ du Modèle:Nobr $G$ sous la forme d'une intégrale surfacigue faisant intervenir le vecteur position $\overrightarrow{CM}$ du point courant $M$ du quart de disque puis

Modèle:Alévaluer cette intégrale pour déterminer la position du C.D.I. $G$.

Modèle:AlVérifier le résultat précédent en utilisant le 2^nd théorème de Guldin relatif à un portion de surface dont l'énoncé est le suivant : Modèle:Théorème Modèle:Solution

Détermination de la vitesse instantanée du C.D.I. G du quart de disque homogène limité par le quart de cercle AB de centre C et les deux rayons CA et CB respectivement perpendiculaires quand le quart de disque tourne autour de l'axe CA avec une vitesse angulaire fixée

Modèle:AlConsidérant la rotation du quart de disque $($limité par le quart de cercle $\stackrel{⌢}{AB}$ et les deux rayons respectivement $\perp$ $CA$ et $CB)$,
Modèle:AlModèle:Transparentautour de l'axe $(CA)$ avec $C$ centre de l'arc de cercle, à la vitesse angulaire constante ${\omega }_0$,

• exprimer le vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_G(t)$ du C.D.I. $G$ du quart de disque $𝒟$ en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}={\omega }_0{\overrightarrow{u}}_{(CA)}$ où ${\overrightarrow{u}}_{(CA)}$ est le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation puis
• en déduire la vitesse instantanée $v_G(t)$ du C.D.I. $G$ sur sa trajectoire en fonction, entre autres, de la vitesse angulaire ${\omega }_0$.

Centre d'inertie d'un quart de cercle homogène A_ρB_ρ de centre C et de rayon ρ puis, par utilisation de la notion de barycentre partiel, centre d'inertie d'un quart de disque homogène limité par le quart de cercle AB de centre C et de rayon R

Schéma d'un quart de cercle homogène $\stackrel{⌢}{A_{\rho }{B}_{\rho }}$, de centre $C$ et de rayon $\rho$

Modèle:AlOn considère le quart de cercle $\stackrel{⌢}{A_{\rho }{B}_{\rho }}$, de centre $C$, de rayon $\rho$, homogène, de masse linéique constante ${\lambda }_0$ dont on se propose

• de déterminer la position de son C.D.I. $G_{\rho }$ en définissant son vecteur position $\overrightarrow{C{G}_{\rho }}$ relativement au vecteur position $\overrightarrow{C{M}_{\rho }}$ du point courant $M_{\rho }$ du quart de cercle d'une part et
• d'autre part de vérifier le résultat par utilisation du 1^er théorème de Guldin relatif à un arc de courbe .

Détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin

Modèle:AlAyant choisi le centre $C$ de l'arc de cercle $\stackrel{⌢}{A_{\rho }{B}_{\rho }}$ comme origine de vecteur position, rappeler l'expression du vecteur position $\overrightarrow{C{G}_{\rho }}$ du C.D.I. $G_{\rho }$ sous la forme d'une intégrale curviligne faisant intervenir le vecteur position $\overrightarrow{C{M}_{\rho }}$ du point courant $M_{\rho }$ du quart de cercle puis

Modèle:Alévaluer cette intégrale pour déterminer la position du C.D.I. $G_{\rho }$.

Modèle:AlVérifier le résultat précédent en utilisant le 1^er théorème de Guldin relatif à un arc de courbe dont l'énoncé est le suivant : Modèle:Théorème Modèle:Solution

Position du centre d'inertie d'un quart de disque homogène limité par un quart de cercle AB de centre C, de rayon R et par deux rayons CA et CB respectivement perpendiculaires, en considérant le quart de disque comme association de surfaces élémentaires semi-intégrées, construites à partir d'un quart de cercle A_ρB_ρ de même centre C, de rayon ρ variable et d'épaisseur dρ

Modèle:AlOn se propose de retrouver le C.D.I. $G$ d'un quart de disque homogène $𝒟$ limité par le quart de cercle $\stackrel{⌢}{AB}$ et les deux rayons $CA$ et $CB$ respectivement $\perp$, avec $C$ centre du quart de cercle, $R$ le rayon de ce dernier et ${\sigma }_0$ la masse surfacique constante du quart de disque, en considérant
Modèle:AlModèle:Transparentle quart de disque homogène $𝒟$ comme une association de quarts de couronnes planes de même centre $C$, de rayon $\rho \in [0,R]$ et de largeur $d\rho$,
Modèle:AlModèle:Transparentle « quart de couronne plane de rayon $\rho$ et de faible largeur $d\rho$» pouvant être modélisé par
Modèle:AlModèle:Transparentun « quart de cercle de rayon $\rho$ et de masse linéique ${\sigma }_{0}d\rho$» ,
Modèle:AlModèle:Transparentcette modélisation reposant sur la détermination de la position du C.D.I. $G_{\rho }$ du quart de cercle de rayon $\rho$ dans la résolution de la question « détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin » plus haut dans cet exercice,
Modèle:AlModèle:Transparentpermet de remplacer le « quart de couronne plane de rayon $\rho$ et de faible largeur $d\rho$» par son barycentre partiel $G_{\rho }$ affecté de la masse «${\sigma }_{0}d\rho \frac{\pi \rho }{2}$» .

Modèle:AlAyant choisi le centre $C$ de l'arc de cercle $\stackrel{⌢}{AB}$ limitant le quart de disque $𝒟$ comme origine de vecteur position, exprimer le vecteur position $\overrightarrow{CG}$ du C.D.I. $G$ du quart de disque $𝒟$ sous la forme d'une intégrale sur un intervalle faisant intervenir le vecteur position $\overrightarrow{C{G}_{\rho }}$ du barycentre partiel $G_{\rho }$ du quart de couronne plane de rayon $\rho$ et de faible largeur $d\rho$ puis

Modèle:AlModèle:Transparentévaluer cette intégrale pour retrouver la position du C.D.I. $G$ du quart de disque .