Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi géométrique

Soit X une loi géométrique de paramètre (p).

Soit Y une loi binomiale de paramètre (m,α).

Une loi géométrique de paramètre (p) est une variable aléatoire qui à toute suite d’évènements identiques indépendants dont la probabilité de réalisation est p consiste à donner le rang où pour la première fois l'évènement considéré ne se réalise pas.

La loi de probabilité de la loi géométrique est :

$p(X=k)=p^{k-1}(1-p)$

Supposons que le paramètre m de la loi Y dépende de la variable aléatoire X. On dira alors que la loi binomiale Y est conditionnée par la loi géométrique X.

Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur la valeur obtenue par la variable (Y+1) dont le paramètre m de Y est la valeur donnée par la variable (X-1).

Étudions la loi de probabilité de Z.

X prenant toutes les valeurs de 〚1;+∞〚, m prendra une valeur dans 〚0;+∞〚, Y prendra ses valeurs dans 〚0;+∞〚 et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 〚1;+∞〚.

(X = k), k ∈〚1;+∞〚 étant un système complet d’événements, on a :

$\begin{array}{cc}p(Z=k)& =p(Y=k-1)\\ & =\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}p[(Y=k-1)/(X=i)]\times p(X=i)\\ & =\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{k-1}){\alpha }^{k-1}(1-\alpha {)}^{i-k}\times p^{i-1}(1-p)\\ & =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k-1}{k-1}){\alpha }^{k-1}(1-\alpha {)}^i\times p^{i+k-1}(1-p)\\ & =(1-p){\alpha }^{k-1}{p}^{k-1}\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k-1}{k-1})(1-\alpha {)}^i{p}^i\\ & =(1-p)(\alpha p{)}^{k-1}\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1+i}{k-1}){[p(1-\alpha )]}^i\end{array}$

Compte tenu de la formule:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{n})x^k=\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$

Nous obtenons:

$\begin{array}{cc}p(Z=k)& =(1-p)(\alpha p{)}^{k-1}\frac{1}{{[1-p(1-\alpha )]}^k}\\ & =\frac{(1-p)(\alpha p{)}^{k-1}}{{(1-p+\alpha p)}^k}\\ & ={\left(\frac{\alpha p}{1-p+\alpha p}\right)}^{k-1}\left(\frac{1-p}{1-p+\alpha p}\right)\\ & ={\left(\frac{\alpha p}{1-p+\alpha p}\right)}^{k-1}(1-\frac{\alpha p}{1-p+\alpha p})\end{array}$

Nous voyons alors que Z est une loi géométrique de paramètre :

$\left(\frac{\alpha p}{1-p+\alpha p}\right)$

Nous retiendrons :

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