Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi de Poisson

Soit X une loi de Poisson de paramètre λ.

Soit Y une loi binomiale de paramètre (m,α).

Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X.

Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le paramètre m est la valeur donnée par la variable X.

Étudions la loi de probabilité de Z.

X prenant toutes les valeurs de 〚0;+∞〚, m prendra une valeur dans 〚0;+∞〚 et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 〚0;+∞〚.

(X = k) k ∈〚0;+∞〚 étant un système complet d’événements, on a :

$\begin{array}{cc}p(Z=k)& =p(Y=k)\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}p[(Y=k)/(X=i)]\times p(X=i)\\ & =\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}){\alpha }^k(1-\alpha {)}^{i-k}\times e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^i}{i!}\\ & =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k}{k}){\alpha }^k(1-\alpha {)}^i\times e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^{i+k}}{(i+k)!}\\ & ={\alpha }^k{e}^{-\lambda }{\lambda }^k\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(i+k)!}{i!k!}(1-\alpha {)}^i\times \frac{{\lambda }^i}{(i+k)!}\\ & ={\alpha }^k{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\alpha {)}^i\times \frac{{\lambda }^i}{i!}\\ & ={\alpha }^k{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{[(1-\alpha )\lambda ]}^i}{i!}\\ & ={\alpha }^k{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{\lambda -\alpha \lambda }\\ & ={\alpha }^k\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\alpha \lambda }\\ & =e^{-\alpha \lambda }\frac{(\alpha \lambda {)}^k}{k!}\end{array}$

Nous voyons alors que Z est une loi de Poisson de paramètre αλ.

Nous retiendrons :

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