Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi binomiale négative

Soit X une loi binomiale négative de paramètre (r,p).

Soit Y une loi binomiale de paramètre (m,α).

Une loi binomiale négative de paramètre (r,p) est une variable aléatoire qui, à toute suite d’événements indépendants à deux alternatives (symboliquement dénommées succès de probabilité p ou échec de probabilité 1-p), associe le nombre d’échecs avant le r^ème succès.

La loi de probabilité de la loi binomiale négative est :

$p(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r-1})p^r(1-p{)}^k$

Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X.

Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur la valeur obtenue par la variable Y dont le paramètre m est la valeur donnée par la variable X.

Étudions la loi de probabilité de Z.

X prenant toutes les valeurs de 〚0;+∞〚, m prendra une valeur dans 〚0;+∞〚 et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 〚0;+∞〚.

(X = k), k ∈〚0;+∞〚 étant un système complet d’événements, on a :

$\begin{array}{cc}p(Z=k)& =p(Y=k)\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}p[(Y=k)/(X=i)]\times p(X=i)\\ & =\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}){\alpha }^k(1-\alpha {)}^{i-k}\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{i+r-1}{r-1})(1-p{)}^i{p}^r\\ & =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k}{k}){\alpha }^k(1-\alpha {)}^i\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k+r-1}{r-1})(1-p{)}^{i+k}{p}^r\\ & ={\alpha }^k{p}^r(1-p{)}^k\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(k+i)!(i+k+r-1)!}{k!i!(r-1)!(k+i)!}{[(1-\alpha )(1-p)]}^i\\ & ={\alpha }^k{p}^r(1-p{)}^k\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(k+r-1)!(i+k+r-1)!}{k!i!(r-1)!(k+r-1)!}{[(1-\alpha )(1-p)]}^i\\ & ={\alpha }^k{p}^r(1-p{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r-1})\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k+r-1}{k+r-1}){[(1-\alpha )(1-p)]}^i\end{array}$

Compte tenu de la formule :

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{n})x^k=\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$

Nous obtenons :

$\begin{array}{cc}p(Z=k)& ={\alpha }^k{p}^r(1-p{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r-1})\frac{1}{{[1-(1-\alpha )(1-p)]}^{k+r}}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r-1}){\left(\frac{p}{\alpha +p-\alpha p}\right)}^r{\left(\frac{\alpha -\alpha p}{\alpha +p-\alpha p}\right)}^k\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r-1}){\left(\frac{p}{\alpha +p-\alpha p}\right)}^r{(1-\frac{p}{\alpha +p-\alpha p})}^k\end{array}$

Nous voyons alors que Z est une loi binomiale négative de paramètres :

$(r,\frac{p}{\alpha +p-\alpha p})$

Nous retiendrons :

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