Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi binomiale

Soit X une loi binomiale de paramètres (n,p).

Soit Y une loi binomiale de paramètres (m,α).

Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X.

Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le paramètre m est la valeur donnée par la variable X.

Étudions la loi de probabilité de Z.

X prenant toutes les valeurs de 0 à n, m prendra une valeur comprise entre 0 et n et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 〚0;n〛.

(X = k), k ∈〚0;n〛 étant un système complet d’événements, on a :

$\begin{array}{cc}p(Z=k)& =p(Y=k)\\ & =\sum _{i=0}^{n}p[(Y=k)/(X=i)]\times p(X=i)\\ & =\sum _{i=k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}){\alpha }^k(1-\alpha {)}^{i-k}\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-p{)}^{n-i}\\ & =\sum _{i=k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{i-k}){\alpha }^k(1-\alpha {)}^{i-k}{p}^i(1-p{)}^{n-i}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\sum _{i=0}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{i}){\alpha }^k(1-\alpha {)}^i{p}^{i+k}(1-p{)}^{n-i-k}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\alpha }^k{p}^k\sum _{i=0}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{i})(1-\alpha {)}^i{p}^i(1-p{)}^{n-k-i}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\alpha }^k{p}^k{[(1-\alpha )p+1-p]}^{n-k}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(p\alpha {)}^k(1-p\alpha {)}^{n-k}\end{array}$

Nous voyons alors que Z est une loi binomiale de paramètres (n,pα).

Nous retiendrons :

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