Logique formelle/Exercices/Quantificateurs et connecteurs logiques

Exercice 1-1

Pour quels ensembles $E$ l'implication suivante est-elle vraie quels que soient les prédicats $P$ et $Q$ ?

$[\mathrm{\forall }x\in E(P(x)\vee Q(x))]\Rightarrow [(\mathrm{\forall }x\in EP(x))\vee (\mathrm{\forall }x\in EQ(x))]$

Exercice 1-2

Soient $(E,\le )$ et $(F,⪯)$ deux ensembles ordonnés et $f:E\to F$ une application.

1. Traduire formellement : « $f$ n'est pas strictement croissante ». (Attention : on ne suppose pas que les ordres $\le$ et $⪯$ sont totaux.)
2. Traduire formellement : « $f$ est croissante ».
3. En déduire (formellement) que si $f$ est croissante et non strictement croissante, alors il existe $a,b\in E$ tels que $a<b$ et $f$ est constante sur l'ensemble $[a,b]:=\{x\in E\mid a\le x\le b\}$.