Logique de base/Tableau de Karnaugh2

Les axes de symétrie

Leur inconvénient

Si l’on suit les règles précédentes avec ce tableau :

U		a b c
		0 0 0	0 0 1	0 1 1	0 1 0	1 1 0	1 1 1	1 0 1	1 0 0
d e	0 0	0	0	0	1	1	1	1	0
	0 1	0	0	0	1	1	1	1	0
	1 1	0	0	0	1	1	1	1	0
	1 0	0	0	0	1	1	1	1	0

En toute logique, on devrait faire ceci :

U		a b c
		0 0 0	0 0 1	0 1 1	0 1 0	1 1 0	1 1 1	1 0 1	1 0 0
d e	0 0	0	0	0	1	1	1	1	0
	0 1	0	0	0	1	1	1	1	0
	1 1	0	0	0	1	1	1	1	0
	1 0	0	0	0	1	1	1	1	0

Or, si l’on résout le rassemblement, on ne trouve pas de solution. Ce problème est lié au fait que l’axe de symétrie du rassemblement effectué ne correspond pas à un axe de symétrie du tableau.

Ici, c’est la variable a qui définit la symétrie des 2 sous-tableaux.

U		a b c
		0 0 0	0 0 1	0 1 1	0 1 0	1 1 0	1 1 1	1 0 1	1 0 0
d e	0 0
	0 1
	1 1
	1 0

Donc, la solution est de faire ceci :

U		a b c
		0 0 0	0 0 1	0 1 1	0 1 0	1 1 0	1 1 1	1 0 1	1 0 0
d e	0 0	0	0	0	1	1	1	1	0
	0 1	0	0	0	1	1	1	1	0
	1 1	0	0	0	1	1	1	1	0
	1 0	0	0	0	1	1	1	1	0

Et là on peut résoudre sans problème le tableau avec les méthodes précédentes.

U = $b.\overline{c}+a.c$

Leur avantage

Heureusement, les axes de symétrie peuvent nous apporter un avantage, surtout pour les gros tableaux. En effet, en essayant de trouver des axes de symétrie, on peut éliminer 1 variable par axe, et donc ainsi simplifier le travail de la recherche de solution.

La procédure est simple : un axe élimine sa variable. Donc si on a un tableau de ce genre :

U		a b c
		0 0 0	0 0 1	0 1 1	0 1 0	1 1 0	1 1 1	1 0 1	1 0 0
d e	0 0	1	2	3	4	1	2	3	4
	0 1	5	6	7	8	5	6	7	8
	1 1	9	10	11	12	9	10	11	12
	1 0	13	14	15	16	13	14	15	16

l'axe de symétrie correspond à la variable a, donc on élimine la variable a pour obtenir le tableau suivant :

U		b c
		0 0	0 1	1 1	1 0
d e	0 0	1	2	3	4
	0 1	5	6	7	8
	1 1	9	10	11	12
	1 0	13	14	15	16

Si on a un tableau de ce genre, c’est la variable c qui disparaît :

U a b c 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 d e 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 0 1 5 5 6 6 7 7 8 8 1 1 9 9 10 10 11 11 12 12 1 0 13 13 14 14 15 15 16 16

Devient ceci :

U a b 0 0 0 1 1 1 1 0 d e 0 0 1 2 3 4 0 1 5 6 7 8 1 1 9 10 11 12 1 0 13 14 15 16