Limites d'une fonction/Opérations sur les limites

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle contenant a ou dont a est une borne.

« FI » signifie que la forme est indéterminée. Il faut transformer l'écriture de la fonction pour trouver une forme qui permet de calculer la limite.

Limite d'une somme

$\begin{array}{ccccc}\underset{a}{\lim }f& l& l\text{ ou }+\mathrm{\infty }& l\text{ ou }-\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\\ \underset{a}{\lim }g& l^{\prime }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }\\ \underset{a}{\lim }(f+g)& l+l^{\prime }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& \text{FI}\end{array}$

Limite d'un produit

$\begin{array}{ccccc}\underset{a}{\lim }f& l& l=0& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& 0\\ \underset{a}{\lim }g& l^{\prime }& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }\\ \underset{a}{\lim }(f\times g)& l\times l^{\prime }& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& \text{FI}\end{array}$

Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera à la règle des signes.

Limite d'un quotient

$\begin{array}{ccccccc}\underset{a}{\lim }f& l& l& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& 0& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& l=0\\ \underset{a}{\lim }g& l^{\prime }=0& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& l^{\prime }=0& 0& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& 0\\ \underset{a}{\lim }\frac{f}{g}& \frac{l}{l^{\prime }}& 0& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& \text{FI}& \text{FI}& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }\end{array}$

Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera, comme précédemment, à la règle des signes.

Limite de la composée

Les lettres a, b et c désignent chacune soit un nombre réel, soit $+\mathrm{\infty }$, soit $-\mathrm{\infty }$.

Soit la fonction composée $g\circ f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $a$, ou dont $a$ est une borne.

$\text{Si}\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b\text{et}\underset{y\to b}{\lim }g(y)=c,\text{alors}\underset{x\to a}{\lim }(g\circ f)(x)=c$.

Interprétation schématique

$\begin{array}{ccccc}I& \stackrel{f}{⟶}& J& \stackrel{g}{⟶}& ℝ\\ a& \to & \underset{x\to a}{\lim }f(x)& & \\ & & \parallel & & \\ & & b& \to & \underset{y\to b}{\lim }g(y)\\ & & & & \parallel \\ & & & & c\end{array}$

Exemple de la racine carrée

$\begin{array}{ccc}\underset{a}{\lim }f& l>0& +\mathrm{\infty }\\ \underset{a}{\lim }\sqrt{f}& \sqrt{l}& +\mathrm{\infty }\end{array}$

Rédaction à tenir

Prenons un premier exemple :

Deuxième exemple

Appliquons cette méthode dans le cas suivant :

Troisième exemple

On peut schématiser le problème par :

$\begin{array}{ccccc}x& \to & \frac{x}{x-1}& & \\ & & \parallel & & \\ & & y& \to & \ln y\\ 1^{+}& \to & +\mathrm{\infty }& \to & +\mathrm{\infty }\end{array}$

Plus formellement :

• $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x}{x-1}=+\mathrm{\infty }$ ;
• $\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\ln y=+\mathrm{\infty }$.

Par composition de limites : $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\ln \left(\frac{x}{x-1}\right)=+\mathrm{\infty }$.