Limites d'une fonction/Fiche/Méthodes pour lever une indétermination

Pour lever une indétermination, il existe de nombreuses façons de procéder. Voici les plus classiques. Certains cas nécessiteront peut-être d'appliquer successivement plusieurs manipulations pour réussir à lever l'indétermination.

Quotient de polynômes

En +∞ ou -∞

L'indétermination est de forme $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$

• On factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré
• On simplifie ce qui peut l'être

Modèle:Exemple

En $a\in ℝ$

L'indétermination est de forme $\frac{0}{0}$

• Il existe (au moins) une racine commune au polynôme du numérateur et à celui du dénominateur.
• On factorise ces deux fonctions polynomiales.
• On simplifie les termes communs.
• L'indétermination peut avoir disparu.

Quotient de fonctions quelconques en +∞ ou -∞

Si, au numérateur et au dénominateur, une fonction est prépondérante sur les autres, on la met en facteur. Ceci fonctionne souvent lorsque des fonctions polynomiales sont combinées de manière simple avec des racines carrées, des logarithmes et des exponentielles.

Différences de racines carrées en +∞ ou -∞

On utilise l'expression conjuguée pour pouvoir combiner le contenu des racines.

Taux de variation en $a\in ℝ$

Certaines limites ont la forme d'un nombre dérivé d'une certaine fonction ƒ en un point donné. On peut les reconnaître en gardant en mémoire la définition du nombre dérivé d'une fonction ƒ en a : $f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ou $f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

En définitive, cette possibilité de lever une indétermination est à examiner lorsqu'on a un dénominateur de la forme $x-a$ pour une indétermination en a.