Limites d'une fonction/Exercices/Limites de fractions rationnelles

Exemple

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par pour tout x $\in ℝ,f(x)=\frac{x^2-3}{5x^2+1}$

On désire déterminer la limite de f quand x tend vers $+\mathrm{\infty }$.

Problématique

On a :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^2-3)=\dots \text{~et~}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(5x^2+1)=\dots$

donc on a une forme indéterminée … qui peut donner n’importe quel résultat selon les cas.

Résolution du problème

On a donc ci-dessus un exemple de fraction rationnelle.

Pour x différent de 0 , on a :

$f(x)=\frac{x^2(\dots )}{x^2(\dots )}=\frac{\dots }{\dots }$

On a les limites suivantes :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\dots )=\dots \text{~et~}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\dots )=\dots \text{~donc~}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\dots }{\dots }=\dots$

Finalement :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\dots$

Heuristique

$5x^2$ grandit 5 fois plus vite que $x^2$ , ce qui explique le résultat.

Exercice

Déterminer les limites quand x tend vers $+\mathrm{\infty }$ et quand x tend vers $-\mathrm{\infty }$ des fractions rationnelles suivantes en précisant la forme indéterminée rencontrée.

1. $f(x)=\frac{-5x^3+2x^2-x+7}{3x^2+1}$

2. $f(x)=\frac{x^4+2}{x^3+x}$

3. $f(x)=\frac{-\frac{1}{3}{x}^2+5x-4}{x^5+1}$

4. $f(x)=\frac{5x^2}{x^2+1}$

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