Limites d'une fonction/Exemple corrigé

Modèle:Exemple

Question 1 : Domaine de définition de f

Soit $x\in ℝ$

$-3x^2+5x+2=0\iff x=-\frac{1}{3}\text{ ou }x=2$

Question 2 : Étude des limites de f aux bords de son domaine de définition

Nous allons étudier la limite de f aux infinis, en $-\frac{1}{3}$ et en 2.

Étude en +∞ et en -∞

Soit $x\in {𝒟}_f$ On met en facteur les termes de plus haut degré : $\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=\frac{x^2(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2})}{x^2(-3+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2})}=\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{-3+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}}$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }-\frac{3}{x}=0$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2}{x^2}=0$

Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}=1-0+0=1$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{5}{x}=0$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2}{x^2}=0$

Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }-3+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}=-3+0+0=-3$

Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{-3+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}}=-\frac{1}{3}$, c'est-à-dire

De même, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}=1$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }-3+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}=-3$

Étude en 1/3

On pose les deux fonctions suivantes sur ${𝒟}_f$:

• $N:x\mapsto x^2-3x+2$
• $D:x\mapsto -3x^2+5x+2$

On a ainsi pour tout $x\in {𝒟}_f,f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}$

• $\underset{x\to -\frac{1}{3}}{\lim }N(x)=N(-\frac{1}{3})=\frac{28}{9}$
• $\underset{x\to -\frac{1}{3}}{\lim }D(x)=D(-\frac{1}{3})=0$

On a devant nous une limite de la forme $\frac{l=0}{0}$. Il faut donc connaître le signe de f pour savoir si la limite vaut +∞ ou -∞, c'est-à-dire connaître les signes de N et D aux alentours de $\frac{1}{3}$.

• $N(-\frac{1}{3})=\frac{28}{9}$ donc N est positive au voisinage de $x=-\frac{1}{3}$
• La fonction D est une fonction polynomiale du second degré. Son tableau de signes est le suivant :

$\begin{array}{cccccccc}x& -\mathrm{\infty }& & -\frac{1}{3}& & 2& & +\mathrm{\infty }\\ \text{Signe~de}D(x)& & -& 0& +& 0& -& \end{array}$

Nous pouvons à présent dire que :

• pour $x<-\frac{1}{3}$

$D(x)<0$ et $N(-\frac{1}{3})=\frac{28}{9}>0$

• pour $x\in ]-\frac{1}{3};2[$

$D(x)>0$ et $N(-\frac{1}{3})=\frac{28}{9}>0$

Étude en 2

• $\underset{x\to 2}{\lim }N(x)=N(2)=0$
• $\underset{x\to 2}{\lim }D(x)=D(2)=0$

Nous sommes a priori en présence d'une forme indéterminée de type « $\frac{0}{0}$ ».

Il y a cependant un moyen simple de remédier à ce problème. Comme $N(2)=0$ et $D(2)=0$ et que N et D sont des fonctions polynomiales, il est possible de les factoriser toutes deux par x-2.

Pour trouver la factorisation, il y a plusieurs manières de faire.

• Utilisation des relations coefficients-racines (voir le cours sur les équations du second degré)

On sait qu'une racine de N est 2 et que le produit des racines vaut $\frac{c}{a}=2$.

On en déduit que pour tout $x\in {𝒟}_f,N(x)=(x-1)(x-2)$

• Poser α la racine de N que l’on ne connaît pas et déduire α par identification de $x^2-3x+2$ et de $(x-2)(x-\alpha )=x^2-(\alpha +2)x+2\alpha$
• Trouver les racines par calcul du discriminant etc, ici DÉCONSEILLÉ car induit beaucoup de calcul pour retomber sur un résultat que l’on connaît déjà à moitié. Dans ce cas c’est une perte de temps.

La question 1 nous apprend directement que pour tout $x\in {𝒟}_f,D(x)=-3(x-2)(x+\frac{1}{3})$

Finalement, soit $x\in {𝒟}_f$

$\begin{array}{cc}f(x)& =\frac{N(x)}{D(x)}\\ & =\frac{(x-1)(x-2)}{-3(x-2)(x+\frac{1}{3})}\\ & =\frac{x-1}{-3x-1}\end{array}$

On a fait disparaître la forme indéterminée. Il ne reste plus qu’à écrire la limite :

$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{2-1}{-3\times 2-1}$

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