Limites d'une fonction/Annexe/Limite en zéro : approche expérimentale

Limite d'une fonction naturellement définie en zéro

Soit la fonction ƒ définie sur $ℝ$ par pour tout $x\in ℝ,f(x)=x^3+2$

1. Remplir le tableau suivant :

$\begin{array}{cccccc}x& 1& 0,1& 0,01& 0,001& 0,0001\\ f(x)& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}$

2. Si ƒ(x) s'approche de plus en plus près d'une valeur L quand x s'approche de zéro, on dit que ƒ tend vers L quand x tend vers zéro, ou que ƒ a pour limite L en zéro. Cela se note $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=L$

Quel est un bon candidat pour $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ dans notre exemple ?

Modèle:Solution

On pourrait croire que calculer la limite en zéro revient à remplacer x par 0 dans la formule qui donne $f(x)$, c'est-à-dire calculer $f(0)$.

Mais le problème de la limite d'une fonction en zéro se pose surtout lorsque cette fonction est bien définie « autour » de zéro par une formule algébrique, mais que cette formule n’est pas valable pour $x=0$.

Limite d'une fonction non définie en zéro

Soit la fonction ƒ définie par, pour $x>0,f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}$

1. Expliquer pourquoi ƒ n’est pas définie en 0.

2. Tracer la courbe de ƒ.

3. Remplir le tableau suivant :

$\begin{array}{ccccccc}x& 1& 0,1& 0,01& 0,001& 0,0001& 0,00001\\ f(x)& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}$

Quel est un bon candidat pour $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ dans notre exemple ?

Exercice

Trouver $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ dans les 3 cas suivants par expérimentation sur la calculatrice.

1. $f_1(x)=\frac{\sin (x)}{x}$ $\underset{x\to 0}{\lim }{f}_1(x)=\cdots$

2. $f_2(x)=\frac{\sin (x)}{\sqrt{x}}$ $\underset{x\to 0}{\lim }{f}_2(x)=\cdots$

3. $f_3(x)=\frac{(x+1{)}^2-1}{x^3}$ $\underset{x\to 0}{\lim }{f}_3(x)=\cdots$

Modèle:Bas de page