Introduction aux suites numériques/Définitions

Introduction

Une suite numérique est une liste de nombres mis en ordre. Cette liste est infinie, comme l’ensemble des nombres entiers naturels $ℕ$ .

Exemple :

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ... est la suite des nombres entiers strictement positifs.

Chaque nombre est un terme de la suite.

Écrire les 6 premiers termes de la suite des nombres entiers positifs impairs.
Écrire les huit premiers termes de la suite des puissances de 2 de premier terme $2^{0} = 1$ .

Les suites sont le plus souvent notées avec des lettres majuscules : $U, V, W, . . .$

Chaque terme de la suite possède un numéro d'ordre. Le début de la numérotation des termes est, en général, 0.

On inscrit le numéro du terme en indice de la lettre majuscule.

Par exemple, le premier terme d'une suite U est noté $U_{0}$ , le deuxième $U_{1}$ , ...

Exemple : Notons $U$ la suite des nombres entiers impairs.

Donner $U_{0}$ , $U_{1}$ , $U_{2}$ .
- $U_{0} = 1$ car premier terme de la suite
- $U_{1} = 3$ car deuxième terme de la suite
- $U_{2} = 5$ car troisième terme de la suite
Ainsi $U_{7} = 15$ est le 8ème terme de la suite $U$ .

On appelle terme général de la suite $U$ le nombre $U_{n}$ avec $n$ indéterminé.

$U_{n}$ est le (n+1) nième terme de la suite si celle-ci commence à $U_{0}$ .

On peut ainsi définir une suite par son terme général, par exemple :

Soit la suite U définie par son terme général :

$U_{n} = n^{2}$ pour $n$ entier naturel.

Calculer $U_{7}$ .
- $U_{7} = 49$
Calculer le onzième terme de cette suite.
- $U_{10} = 100$

On note souvent une suite $U$ avec la notation $(U_{n})$ .

Les parenthèses sont importantes, elles signifient que l’on n'a pas affaire au terme général, mais à la suite elle-même.

On aboutit donc au genre d'énoncé suivant :

Soit $(U_{n})$ la suite définie par : $U_{n} = 2^{n}$

Calculer U10
- $U_{10} = 1024$
Pour quelle valeur de $n$ a-t-on $U_{n} > 1000$
- Le terme $U_{n} > 1000$ pour $n = 10$
Que dire du sens de variation de cette suite ?
- La suite est strictement croissante lorsque la valeur de $n$ augmente.
Que dire de sa vitesse de variation ?
- Sa vitesse de variation augmente lorsque la valeur de $n$ augmente (accélération de l'accroissement de la suite).

Suites et fonctions

À ce niveau, le lecteur est maintenant familier avec la notion de fonction. En quelques mots, une fonction est un objet mathématique qui, à tout nombre x d'un ensemble de définition $𝒟$ , associe son image $f (x)$ .

On note alors : $\begin{matrix} f & : & 𝒟 & \to & ℝ \\ x & \mapsto & f (x) \end{matrix}$

Modèle:Définition

On peut donc, en première approche, regarder une suite comme une sorte de « fonction » qui ne serait définie que sur les nombres entiers naturels.

Terminologie

Modèle:Principe

On remarque que la notation utilisée pour les suites est différente de celle utilisée pour les fonctions :

Pour les fonctions, on utilise une notation avec des parenthèses : $f (x)$ qui se lit «ƒ de x»
Pour les suites, on met le n en indice après le u : $u_{n}$ et on lit «u indice n», ou encore «u n»

Modèle:Définition

Si on devait écrire la suite sous la même forme que la fonction présentée au premier paragraphe, on écrirait :

$\begin{matrix} (u_{n}) & : & ℕ & \to & ℝ \\ n & \mapsto & u_{n} \end{matrix}$

Nous éviterons cependant cette notation qui s'avèrera en réalité peu adaptée pour les suites, comme nous allons le voir dans ce cours.

Modèle:Attention

Méthodes de génération d'une suite réelle

Par formule explicite

On peut définir une suite par une formule explicite, c'est-à-dire qu’il suffit, comme pour les fonctions, de faire le calcul de la valeur du terme avec n donné.

Modèle:Exemple

Quel est donc l’intérêt d'introduire ce nouvel objet s'il fait moins bien qu'une fonction (puisqu’il n'est possible de définir une suite que sur les nombres entiers) ?

Par récurrence

L'intérêt des suites est de pouvoir les définir sous une forme explicite (pour tout $n \in ℕ, u_{n} = 2 n^{2} + 1$ ) et aussi par récurrence.

La meilleure façon d'appréhender la récurrence est de l'appliquer sur un exemple.

Modèle:Exemple

Il suffit de savoir compter pour comprendre que le terme suivant est 12.

Pour trouver ce résultat, vous avez pensé « pour avoir un terme, il suffit d'ajouter 2 au terme précédent ».

Écrivons ce raisonnement avec le formalisme des suites réelles.

Soit $(u_{n})$ une suite réelle dont les premiers termes sont :

$\begin{matrix} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ u_{n} & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \end{matrix} \dots$

On a :

${\begin{matrix} u_{1} = u_{0} + 2 \\ u_{2} = u_{1} + 2 \\ u_{3} = u_{2} + 2 \\ \dots \end{matrix}$

Si on écrit la formule dans le cas général, cette suite $(u_{n})$ est définie par :

la formule de récurrence $u_{n + 1} = u_{n} + 2$
le premier terme $u_{0} = 0$

Modèle:Définition

Modèle:Attention

Ce principe de définition par récurrence est impossible à mettre en œuvre pour des fonctions d'une variable réelle puisque dans $ℝ$ on ne peut pas compter « par étapes ».

Synthèse

Modèle:Principe

Définition des suites

Tout comme les fonctions, les suites peuvent avoir des « valeurs interdites », c'est-à-dire des valeurs de rang pour lesquelles il est impossible de calculer le terme correspondant. Cependant, il y a une différence fondamentale avec les fonctions :

Modèle:Propriété

En d'autres termes, on ne peut définir une suite qu’à partir du rang supérieur à celui de la dernière valeur interdite. Il ne peut pas y avoir de « trou de définition » (discontinuité) dans une suite.

Modèle:Exemple

Modèle:Remarque

Exercice d'application directe

<quiz display="simple"> { Calculer : | type="{}" } Le terme d'indice 10 de la suite $(u_{n})$ définie par : $u_{n} = 10 n - 5 \forall n \in ℕ$ : { 95 _2} Le terme d'indice 4 de la suite $(u_{n})$ définie par : $u_{n} = \sqrt{n^{2} + 9} \forall n \in ℕ$ : { 5 _2} Le rang pour lequel la suite $(u_{n})$ définie par : $u_{n} = n^{2} - 3 \forall n \in ℕ$ prend la valeur 22 : { 5 _2}

{ Comment sont définies les suites suivantes ? | type="()" } | Formule explicite | Récurrence +- Pour tout $n \in ℕ, u_{n} = 2 n - 1$ -+ Pour tout $n \in ℕ, u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$ et $u_{0} = 1$ -+ Pour tout $n \in ℕ, u_{n + 1} = 2 u_{n} - n + 1$ et $u_{0} = π$ +- Pour tout $n \in ℕ, u_{n} + 1 = 2 (n + 1)$ et $u_{0} = 1$

{ Calculer le rang à partir duquel les suites suivantes sont définies.

| type="{}" } Suite à un bug encore non corrigé de l'extension Quiz, lorsque la réponse est 0 (zéro), entrer un O (lettre O majuscule) pour que la réponse soit reconnue par le système.

La suite $(u_{n})$ telle que $u_{n} = n + 2$ est définie à partir du rang { O _2} La suite $(u_{n})$ telle que $u_{n} = \sqrt{n + 2}$ est définie à partir du rang { O _2} La suite $(u_{n})$ telle que $u_{n} = \sqrt{n - 2}$ est définie à partir du rang { 2 _2} La suite $(u_{n})$ telle que $u_{n} = \frac{1}{n - 5}$ est définie à partir du rang { 6 _2} La suite $(u_{n})$ telle que $u_{n} = \frac{1}{n - 4, 5}$ est définie à partir du rang { O _2} La suite $(u_{n})$ telle que $u_{n} = \frac{\sqrt{n - 1}}{n - 2}$ est définie à partir du rang { 3 _2} </quiz>

Sens de variation d'une suite

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

Introduction aux suites numériques/Définitions

Sommaire

Introduction

Suites et fonctions

Terminologie

Méthodes de génération d'une suite réelle

Par formule explicite

Par récurrence

Synthèse

Définition des suites

Exercice d'application directe

Sens de variation d'une suite

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