Introduction aux mathématiques/Exercices/Récurrences

Exercice 2-1

On considère la suite récurrente $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $a_0=0$ et

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{a}_{n+1}=n+1+\sum _{k=0}^n{a}_k$.

Démontrer que $a_n=2^n-1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Modèle:Solution

Exercice 2-2

1. Montrer que modulo 7, un carré parfait ne peut être congru qu'à 0, 1, 2 ou 4.
2. En déduire que si trois entiers $x,y,z$ vérifient $x^2+y^2=7z^2$, alors ils sont tous les trois divisibles par 7.
3. En raisonnant par descente infinie, en déduire qu'il n'existe aucun triplet d'entiers naturels $(x,y,z)\ne (0,0,0)$ tel que $x^2+y^2=7z^2$.