Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis

Exercice 1-1

Démontrer que ${ℝ}^{\mathbb{N}}$ et ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ ont la puissance du continu. Modèle:Solution On considère les sous-espaces vectoriels suivants (emboîtés) du $ℝ$-espace vectoriel ${ℝ}^{\mathbb{N}}$ des suites réelles :

$\text{si }1\le p<\mathrm{\infty },{\ell }^p=\{x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {ℝ}^{\mathbb{N}}\mid \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p<+\mathrm{\infty }\}$,

$c_0=$ le sous-espace vectoriel des suites de limite nulle et ${\ell }^{\mathrm{\infty }}=B(\mathbb{N},ℝ)=$ le sous-espace vectoriel des suites bornées.

1. Vérifier que pour tout réel $t>0$, la suite $x(t)$ définie par $x(t{)}_n={\mathrm{e}}^{-tn}$ appartient à tous ces sous-espaces vectoriels.
2. On admettra (ou démontrera, en pensant aux matrices de Vandermonde) que la famille de suites $(x(t){)}_{t\in {ℝ}_{+}^{*}}$ est libre. En déduire que tous les sous-espaces vectoriels mentionnés sont de dimension au moins $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(ℝ)$.
3. En déduire tous ces espaces de suites sont à la fois de dimension et de cardinal $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(ℝ)$.

Exercice 1-2

1. Montrer que si $D$ est un ensemble dénombrable et $d\in D$, alors $D\setminus \{d\}$ est dénombrable.
2. En déduire que toute partie cofinie (c'est-à-dire de complémentaire fini) d'un ensemble dénombrable est dénombrable.

Exercice 1-3

Un ensemble $E$ est dit :

• infini au sens (faible) usuel s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il n'est équipotent à ${\mathbb{N}}_n$ pour aucun $n\in \mathbb{N}$ ;
• infini au sens (fort) de Dedekind s'il est équipotent à l'une de ses parties propres, c'est-à-dire à une partie $A\subset E$ différente de $E$.

Bien que ce ne soit pas utile ici, rappelons (cf. cours) qu'avec une version faible de l'axiome du choix, tout ensemble infini au sens usuel contient un ensemble dénombrable. Dans le présent exercice, on ne suppose aucun axiome du choix.

1. Montrer que tout ensemble infini au sens de Dedekind est infini au sens usuel.
2. Montrer que si $E$ contient un ensemble dénombrable alors $E$ est infini au sens de Dedekind. Indication : utiliser la question 1 de l'exercice précédent.
3. Démontrer la réciproque. Indication : soit $E$ un ensemble équipotent à l'une de ses parties propres, $A$, via une bijection $f:E\to A$, soit $a\in E\setminus A$, et soit $(x_n{)}_n$ la suite définie par récurrence par Modèle:Nobr montrer par [[../../Entiers naturels#Récurrences|descente infinie]] qu'il n'existe aucun $p\in \mathbb{N}$ tel que : $\mathrm{\exists }q<p{x}_q=x_p$.

Exercice 1-4

Soit X un ensemble contenant une partie dénombrable et soit N un ensemble fini ou dénombrable. Montrer que X∪N est équipotent à X. Modèle:Solution

Exercice 1-5

On rappelle que l'ensemble ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ des applications de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ est équipotent à $ℝ$, et que $S_{\mathbb{N}}$ désigne le sous-ensemble des bijections de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$. On note $I\bar{S}$, $S\bar{I}$ et $\bar{I}\bar{S}$ les parties de ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ constituées respectivement des injections non surjectives, des surjections non injectives et des applications ni injectives, ni surjectives.

1. Montrer que $I\bar{S}$ et $S\bar{I}$ sont non vides.
2. Soient $g\in I\bar{S}$ et $h\in S\bar{I}$. Expliquer rapidement pourquoi $f\mapsto g\circ f$, $f\mapsto f\circ h$ et $f\mapsto g\circ f\circ h$ sont des injections de $S_{\mathbb{N}}$ dans (respectivement) $I\bar{S}$, $S\bar{I}$ et $\bar{I}\bar{S}$. (On rappellera, sans les démontrer, les propriétés utilisées reliant injectivité, surjectivité et composition.)
3. Pour toute partie $A$ de $\mathbb{N}$, on définit $f_A:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ par : pour tout $n\in A$, $f_A(2n)=2n+1$ et $f_A(2n+1)=2n$ et pour tout $n\in \mathbb{N}\setminus A$, $f_A(2n)=2n$ et $f_A(2n+1)=2n+1$. Montrer que $f_A$ est bijective, en précisant sa bijection réciproque.
4. On considère l'application $F:𝒫(\mathbb{N})\to S_{\mathbb{N}},A\mapsto F(A)=f_A$. Montrer qu'il existe une application $G:S_{\mathbb{N}}\to 𝒫(\mathbb{N})$ telle que $G\circ F={\mathrm{Id}}_{𝒫(\mathbb{N})}$.
5. Déduire des questions 4 et 2 que $S_{\mathbb{N}}$, $I\bar{S}$, $S\bar{I}$ et $\bar{I}\bar{S}$ sont équipotents à $ℝ$.

Exercice 1-6

Montrer que tout intervalle réel non trivial (c'est-à-dire contenant au moins deux réels) a la puissance du continu. Modèle:Solution

Exercice 1-7

On rappelle (pour les questions 2 et 3) que pour tous cardinaux $\alpha ,\beta ,\gamma$ :

${\alpha }^{\beta }\times {\alpha }^{\gamma }={\alpha }^{(\beta +\gamma )}\text{et}{\alpha }^{\beta \times \gamma }=({\alpha }^{\beta }{)}^{\gamma }$.

Dans chacune des trois listes suivantes, comparer entre eux les cardinaux des 5 ensembles, par des inégalités strictes ou des égalités.

1. $\mathbb{N},ℝ,𝒫(\mathbb{N}),\{0,1{\}}^{\mathbb{N}},𝒫(ℝ)$.
2. $ℝ,\{0,1{\}}^{\mathbb{Z}},\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}\times \{0,1{\}}^{{\mathbb{N}}^{*}},ℝ\times ℝ,\mathbb{N}\times ℝ$.
3. $\{0,1{\}}^{\mathbb{N}},\{0,1{\}}^{\mathbb{N}\times \mathbb{N}},{ℝ}^{\mathbb{N}},\{0,1{\}}^{ℝ},{ℝ}^{ℝ}$.